Методические указания к выполнению домашней работы №2

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Институт пути, строительства и сооружений

Кафедра «Начертательная геометрия и черчение»

Н.П. ГОРБАЧЕВА

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ № 2

Москва-2008

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)

Институт пути, строительства и сооружений

Кафедра «Начертательная геометрия и черчение»

Н.П. ГОРБАЧЕВА

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Рекомендовано редакционно-издательским советом университета в качестве методических указаний для студентов ИПСС

Москва-2008

УДК 513

Г 67

Горбачева Нина Петровна. Начертательная геометрия. -М.: МИИТ, 2008.- 21с.

Настоящие методические указания составлены с целью оказания помощи студентам в процессе выполнения домашней работы №2 по начертательной геометрии по теме «Преобразование эпюра».

© Московский государственный университет путей сообщения (МИИТ), 2008

3

ВВЕДЕНИЕ

Работа № 2 по дисциплине «Начертательная геометрия» содержит метрические и позиционные задачи, решение которых значительно упрощается, когда рассматриваемые геометрические фигуры имеют частное положение. Так, например, если прямая параллельна плоскости проекций, то легко определяется ее натуральная величина. Так же легко определить проекции точки пересечения прямой с плоскостью частного положения и т.д. Возникает необходимость в создании таких приемов, которые позволили бы переводить фигуры из общего по отношению к плоскостям проекций положения в частное. С этой целью используют способ замены плоскостей проекций.

СПОСОБ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Сущность способа замены плоскостей проекций заключается в том, что одна из основных плоскостей проекций заменяется новой плоскостью, перпендикулярной незаменяемой. Положение самого объекта в пространстве при этом останется неизменным. Последовательное введение новых плоскостей проекций дает

4

возможность получить такую новую систему плоскостей, относительно которой геометрический элемент займет частное положение.

ОСНОВЫ СПОСОБА

Основы способа замены плоскостей проекций заключаются в следующем:

1. Положение рассматриваемой геометрической фигуры в пространстве не изменяется по отношению к исходной «старой» системе плоскостей проекций.

2. «Новая» система взаимно перпендикулярных плоскостей выбирается так, чтобы рассматриваемая геометрическая фигура оказалась бы в частном положении по отношению к одной из плоскостей новой системы.

3. Построенная на такой плоскости ортогональная проекция геометрической фигуры является искомой вспомогательной проекцией этой фигуры.

В некоторых случаях достаточно заменить только одну плоскость старой системы, в неко-

5

торых – необходима последовательная замена обеих плоскостей

На рис. 1 показана точка A, заданная в системе плоскостей П₂/П₁.

Рис. 1 Рис. 2

Заменим плоскость П₂ новой фронтальной плоскостью П₄, перпендикулярной к П₁. Построим новую фронтальную проекцию точки на эту плоскость. Так как горизонтальная плоскость проекции П₁ является общей для «старой» и «новой» систем, координата Z точки А остается неизменной. Следовательно, расстояние от новой фронтальной проекции до новой оси X₁₄ равно координате Z старой системы. При этом горизонтальная проекция

6

точки A остается прежней, а координата Y точки будет равна расстоянию от точки A до плоскости П₄. Для получения эпюра плоскость П₄ вращением вокруг оси X₁₄ совмещается с П₁. При этом A₄ окажется на общем перпендикуляре к новой оси X₁₄ (рис.2).

Аналогично можно заменить горизонтальную плоскость проекций П₁ плоскостью П₅ (рис. 3). В этом случае общей плоскостью для обеих систем является плоскость П₂. При построении «новой» горизонтальной проекции точки от оси X₂₅ отложена Y_A взятая в системе П₂/П₁.

Рис. 3

7

РЕШЕНИЕ ЧЕТЫРЕХ ОСНОВНЫХ ЗАДАЧ СПОСОБОМ ЗАМЕНЫ ПЛОСКОСТЕЙ ПРОЕКЦИЙ

Задача №1. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая общего положения стала прямой уровня.

Рис. 4

8

Рис. 5

На рис.4 показана прямая общего положения. Для решения этой задачи фронтальная плоскость проекций П₂ заменена новой вертикальной плоскостью П₄ параллельной отрезку AB и перпендикулярной к плоскости проекций П₁. Фронтальную проекцию A₄B₄ строят в такой последовательности:

9

1. на произвольном расстоянии от A₁B₁ параллельно горизонтальной проекции проводят новую ось X₁₄;

2. из точек A и B проводят линии проекционной связи перпендикулярно оси X₁₄;

3. на этих линиях от новой оси откладывают отрезки, равные координатам Z точек A и B, т. е. отрезки Z_A и Z_B, замеренные на плоскости проекций П₂;

4. полученный отрезок A₄B₄ представляет собой натуральную величину прямой AB, так как в новой системе она параллельна плоскости П₄. А угол φ является углом наклона прямой AB к плоскости проекций П₁.

На рис. 5 приведено решение аналогичной задачи путем замены плоскости проекций П₁. Плоскость П₅ расположена параллельно прямой AB и перпендикулярно плоскости П₂, поэтому отрезок AB и угол ψ спроецировались на П₅ без искажения.

10

Задача №2. Преобразовать чертеж так, чтобы прямая общего положения стала проецирующей.

Решение этой задачи требует двойной замены плоскостей проекций, так как плоскость перпендикулярная к прямой общего положения не перпендикулярна ни к одной из плоскостей проекций. Первой заменой (рис. 6) прямая общего положения AB преобразована в прямую уровня (т.е. решена задача №1). Второй заменой система плоскостей П₄/П₁ заменена новой – П₄/П₅. В этой системе плоскостей проекций П_{4 ┴} П₅. Плоскость П₁ заменена новой плоскостью П₅ так, что прямая стала проецирующей (т.е. АВ _┴ П₅). Для этого новая ось Х₄₅ проведена перпендикулярно А₄В₄. При этом прямая АВ на плоскость П₅ спроецируется в точку (А₅≡В₅), так как Y_А=Y_В.

Эта задача решается при определении натуральной величины расстояния от точки до прямой, расстояния между скрещивающимися прямыми, величины двугранного угла.

11

Рис. 6

Задача №3. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала проецирующей.

На рис.7 плоскость общего положения задана треугольником АВС.

Для решения задачи необходимо новую плоскость расположить перпендикулярно треугольнику АВС. Для того, чтобы вновь

12

созданная система плоскостей проекций была ортогональной, новую ось X₁₄ проводят перпендикулярно одной из главных линий плоскости (в данном примере Х_{14 ┴} h₁). В новой системе П₄/П₁ плоскость треугольника α(АВС) проецируется в линию. А угол φ наклона ее к плоскости проекций П₁ проецируется без искажения.

Рис. 7

Аналогичные построения выполнены по рис.8, где плоскость П₁ заменена

13

плоскостью П₅. Для этого по плоскости треугольника проведена фронталь ƒ, перпендикулярно которой расположена плоскость П₅. Новая ось Х_{25 ┴} ƒ₂. Плоскость треугольника α(АВС) в новой системе плоскостей П₂/П₅ стала проецирующей.

Рис. 8

На плоскость П₅ без искажения проецируется угол ψ наклона треугольника к фронтальной плоскости проекций П₂.

14

Задача №4. Преобразовать чертеж так, чтобы плоскость общего положения стала плоскостью уровня.

Задача решается в два этапа:

а) первой заменой (рис.9) плоскость треугольника α(АВС) преобразована в проецирующую (см. задачу №3);

б) при второй замене произведен переход от системы П₄/П₁ к системе П₄/П₅. При этом новая ось Х₄₅ расположена параллельно следу плоскости α₄. Плоскость α(АВС) в новой системе плоскостей стала параллельной плоскости П₅ и спроецировалась на нее в натуральную величину.

15

Рис. 9

Если заданная плоскость является проецирующей – задача решается при помощи одной замены. Так на рис.10 задана фронтально- проецирующая плоскость α(АВС). Для решения задачи заменена плоскость проекций П₁ на новую П₅, параллельную плоскости треугольника. Ось Х₂₅ проекций расположена параллельно фронтальной проекции α₂ плоскости α.

В системе плоскостей П₂/П₅ плоскость треугольника является натуральной величиной.

16

Рис. 10

Указания к работе № 2.

Покажем применение способа замены плоскостей проекций к решению задач, которые составляют содержание работы №2 «Способы преобразования чертежа».

Эта работа состоит из двух задач:

1. Построение проекций фигуры сечения многогранника плоскостью общего положения;

17

1. Определение натуральной величины построенной фигуры сечения. Исходными данными задачи являются:

а) вершины многогранника (призмы или пирамиды), которые заданы координатами X,Y и Z;

б) h – высота многогранника;

в) плоскость общего положения.

Сечение многогранника плоскостью.

Известно, что сечением многогранника плоскостью является многоугольник, вершинами которого служат точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью, а сторонами отрезки прямых пересечения граней многогранника с той же плоскостью (рис. 11).

18

Рис.11

Рис. 12

19

Пример построения проекций фигуры сечения пирамиды SABCDE фронтально проецирующей плоскостью α представлен на рис.12.

Так как фронтальная проекция фигуры сечения проецируется в отрезок прямой, совпадающей с фронтальной проекцией α₂, то A₂B₂C₂D₂ и Е₂ – фронтальные проекции вершин искомого сечения. Горизонтальные проекции A₁, B₁, C₁, D₁ и E₁ найдены на соответствующих горизонтальных проекциях ребер.

В работе №2 требуется построить проекции и натуральную величину фигуры сечения многогранника плоскостью общего положения.

На рис. 13 построены проекции фигуры сечения пирамиды SABC плоскостью общего положения, заданной двумя пересекающимися прямыми α (M1 ∩ PN).

Для упрощения задачи, способом замены плоскостей проекций, чертеж преобразован так, что плоскость α в новой системе плоскостей П₄/П₁ стала проецирующей (см. 3 основную задачу). На эпюре новая ось проекций X₁₄ расположена перпендикулярно горизонтали M1. Одновременно с этим получена новая

20

проекция данной пирамиды S₄A₄B₄C₄. Нетрудно заметить, что теперь задача на построение фигуры сечения сведена к предыдущей (рис.12). На плоскости П₄ легко построить проекцию фигуры сечения D₄E₄F₄G₄, отмечая точки пересечения α₄ с проекциями ребер пирамиды. Обратным преобразованием получены проекции сечения D₁E₁F₁G₁ в системе П₂/П₁.

Видимыми будут те стороны многоугольника сечения, которые принадлежат видимым граням пирамиды.

Для определения натуральной величины фигуры сечения секущая плоскость преобразована в плоскость уровня (см. 4 основную задачу). На эпюре новая ось проекций X₄₅ расположена параллельно α₄. D₅E₅F₅G₅ – натуральная величина фигуры сечения. Построение видно из рисунка.

Работа выполняется в карандаше на формате A3 (297×420). Формат располагается вертикально.

Пример оформления работы приведен на стенде.

21

Рис 13.

22

Содержание

1. Введение. Способ замены плоскостей

проекций 3

2. Основы способа 4

3. Решение четырех основных задач

способом замены плоскостей проекций 7

4. Указания к работе №2 10

Учебно-методическое издание

Горбачева Нина Петровна

Начертательная геометрия

Методические указания к

выполнению работы №2

_______________________________________________­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­____

Подписано в печать- Формат 60х84/16 Тираж 300

Усл.- печ. л. 1,5 Изд. № Заказ №

127994, Москва, ул. Образцова, 15. Типография МИИТа