Матричная форма квантовой механики (Полный термин)
Описание файла
Файл "Матричная форма квантовой механики" внутри архива находится в папке "Полный термин". Документ из архива "Полный термин", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "квантовая физика" из 8 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "Матричная форма квантовой механики"
Текст из документа "Матричная форма квантовой механики"
3.8. Матричная форма квантовой механики
Представление физических величин эрмитовыми операторами, действующими на волновую функцию, не является единственно возможным математическим аппаратом квантовой механики. В 1925 г. еще до открытия Э.Шредингером основного уравнения для волновой функции, В.Гейзенберг предложил в квантовой механике каждой физической величине ставить в соответствие некоторую матрицу с бесконечным числом строк и столбцов.
Такая "матричная" форма квантовой механики была развита в работах В.Гейзенберга, М.Борна, П.Иордана и других физиков параллельно, а на первом этапе даже независимо от волновой теории с использованием операторов. И только позже Э.Шредингер показал, что представления физических величин операторами и матрицами эквивалентны, хотя математический аппарат этих двух методов решения задач квантовой механики оказывается различным.
Связь между операторами и матрицами физических величин установим, считая для упрощения выкладок, что спектры рассматриваемых квантовомеханических операторов являются дискретными, хотя все обсуждаемые ниже соотношения были обобщены Дираком и на случай операторов с непрерывными спектрами.
Пусть , - известный набор собственных функций некоторого квантовомеханического оператора . Из свойств собственных функций эрмитовых операторов следует, что любую регулярную функцию можно разложить в ряд по собственным функциям оператора:
, | (3.85) |
причем коэффициенты этого разложения определяются по формулам
. | (3.86) |
Если теперь в качестве функции взять функцию , являющуюся результатом действия на функцию оператора физической величины , то из (3.85) и (3.86) следует равенство
, | (3.87) |
где
. | (3.88) |
Величины можно рассматривать как элементы некоторой бесконечной матрицы
.
Эту матрицу называют матрицей оператора (или физической величины ) в системе собственных функций оператора , или, как говорят, в - представлении. В квантовой механике при этом используются координатное, импульсное, энергетическое и другие представления.
Каждую величину называют матричным элементом, соответствующим переходу из состояния в состояние . Матричный элемент имеет два индекса. Первый - есть номер строки, а второй - номер столбца матрицы.
Для матричных элементов применяется также обозначение, предложенное Дираком,
. | (3.89) |
Такой символ можно рассматривать как сконструированный из обозначения физической величины (или соответствующего ей оператора ) и символов и . Формально, каждую собственную функцию (начальное состояние) представляет некоторый базисный вектор бесконечномерного пространства, который называют кет-вектором. Собственную функцию (конечное состояние) представляет вектор , который называют бра-вектором. Такие названия происходят от английских и , образующих слово (скобка).
Заметим, что обозначение следует рассматривать как сокращенную запись выражения , где - единичный (тождественный) оператор, для которого . Поэтому
.
Итак, оператор физической величины в -представлении определяется матрицей , элементы которой определяются соотношением (3.88). При этом эрмитову оператору всегда соответствует эрмитова матрица, для матричных элементов которой справедливо соотношение .
Определим некоторые алгебраические операции над матрицами Гейзенберга:
1. Сложение матриц. Если , то для матричных элементов матрицы выполняется равенство
.
2. Умножение матриц. Если , то матричные элементы матрицы определяются по правилу перемножения матриц
.
При этом произведение матриц, как и произведение операторов, не коммутативно, то есть в общем случае .
3. Так как правила сложения и умножения матриц определены, то можно определить простейшие функции матриц. Так например, под функцией будем понимать следующий ряд из матриц
.
Отметим одно важное свойство матриц Гейзенберга физических величин в квантовой механике. Если определить матричные элементы оператора в собственном - представлении, когда , то из (3.88) получаем
.
Это означает, что матрица оператора в собственном представлении является диагональной матрицей, то есть матрицей, у которой отличны от нуля лишь элементы с , причем эти диагональные элементы являются собственными значениями оператора .
Таким образом, важная задача квантовой механики об определении собственных значений квантовомеханического оператора в матричной формулировке сводится к нахождению такого преобразования матрицы, которое приводит ее к диагональному виду.
Представление квантовой механики в матричной форме позволяет формулировать уравнения квантовой механики так, что в них не фигурирует волновая функция, а сами уравнения по форме совпадают с уравнениями классической механики, но с тем принципиальным отличием, что в этих уравнениях классические физические величины заменены соответствующими матрицами.
В некоторых случаях при решении задач квантовой механики матричная форма оказывается даже удобнее операторной. Но в нашем курсе при решении задач квантовой механики мы будем использовать только операторную форму квантовой механики с использованием волновой функции и волнового уравнения Шредингера. Примеры решения некоторых задач квантовой механики в матричной форме можно найти в учебниках по теоретической физике.