SEMINAR1 (Семинары)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВОЕННОЙ ПОДГОТОВКИ

Кафедра войск ПВО

«УТВЕРЖДАЮ»

Начальник военной кафедры Войск ПВО

полковник И. Калашников

«_____» _______________ 199___г.

Методическая разработка

для проведения занятий по разделу:

«Математические методы моделирования исследований боевых действий войск и анализа сложных систем (моделей операций)»

профиль ВУС 530700

ТЕМА: 14 Метод динамики средних и его применения для исследования аналитических моделей динамики боевых действий

ЗАНЯТИЕ: 3¸6

Обсуждена на заседании цикла 24

«__» __________ 1997 г.

ПРОТОКОЛ ___________________

Москва 1997 г.

Учебная и воспитательные цели:

Изучить возможность оценки эффективности взаимодействия двух противоборствующих группировок с использованием метода динамики средних, с использованием аналитических и статических моделей. Дать практику применения аналитических и статических моделей динамики боевых действий.

Воспитать у студентов чувство ответственности за этап разработки и построения моделей боя двух группировок, показать необходимость и важность данного этапа в задаче построения группировки ПВО.

Организационно-методические указания:

Сначала необходимо ознакомить студентов с математическим аппаратом, составляющим основу метода динамики средних. Затем рассмотреть две классические модели боя двух группировок и показать, как с помощью рассмотренного математического аппарата может быть описана динамика боя, то есть построенные аналитические модели боя. Целесообразно этот материал рассмотреть лекционно.

Затем, на групповых занятиях, необходимо дать практику в применении аналитических и статических моделей динамики боевых действий.

Занятия 3,4. Оценка боевых действий группировок с использованием аналитических моделей

Время: 4 часа.

Учебная и воспитательная цели:

Научить студентов строить аналитические модели динамики боевых действий, дать практику в их использовании и анализа результатов работы модели.

Воспитать чувство ответственности за выполнение данного этапа работы.

Методика проведения занятия:

Начиная занятие, необходимо оговорить те ограничения и допущения, при которых возможно применения метода динамики средних для оценки результата боевых действий двух противоборствующих группировок с использованием аналитических моделей, а именно:

• каждая из группировок должна содержать однородные боевые единицы;

• боевые действия две группировки начинают одновременно;

• численность группировок не пополняется на протяжении всего боя.

Также могут присутствовать другие ограничения, связанные с конкретной задачей.

Далее необходимо дать постановку задачи, при этом целесообразно использование проектора со слайдом N «Постановка задачи».

После обдумывания к доске вызываются студенты, которые формализуют поставленную задачу, составляют алгоритм решения и получают результат по конкретным исходным данным.

При опросе студентов и их работы у доски необходимо добиться четких уставных взаимоотношений между студентами и преподавателем и между студентами. При ответе студентов прививать им методические навыки: четкое последовательное изложение материала, правильное использование доски, использование ТСО.

Краткое содержание занятий 3,4.

Учебный вопрос № 1.

Вычисление показателей эффективности боевых действий группировок с использованием моделей типа А.

Постановка задачи.

Группа самолетов красных в составе единиц ведет бой с группой самолетов синих в составе единиц. Самолеты красных обладают средней скорострельностью выстрелов в минуту и поражают цели со средней вероятностью . Самолеты синих обладают средней скорострельностью выстрелов в минуту и поражают цели со средней вероятностью . Если у одной группировки останется единиц , то группировка считается побежденной и бой заканчивается.

Определить:

1. победившую стороны

2. продолжительность боя

3. потери победившей стороны .

Применение модели Ланчестера типа «А »

А) Допущения, применяемые при построении модели:

1. Каждая боевая единица производит случайный поток выстрелов.

2. Огонь является прицельным, каждый выстрел может поразить только одну единицу противника.

3. После поражения единицы огонь переносится на следующую.

4. Время полета снаряда не учитывается.

5. В любой момент времени боевая мощь группы самолетов пропорциональна математическому ожиданию числа сохранившихся боевых единиц.

Б) Вывод уравнений модели и получение решений.

- среднее число красных к моменту

- среднее число синих к моменту

- средняя скорострельность успешных выстрелов боевых единиц красных

- средняя скорострельность успешных выстрелов боевых единиц синих

Потери каждой стороны за определяются:

или , где

Для каждого нахождения решения системы дифференциальных уравнений продифференцируем каждое уравнение и заменим первые производные в правых частях их выражениями из соответствующих исходных уравнений.

Тогда для первого уравнения получим:

Общее решение такого уравнения имеет вид:

Где и определяются из начальных условий:

Откуда:

Следовательно:

Аналогично:

Разделим первое уравнение на , а второе на и введем следующие обозначения:

Окончательно получим следующие выражения для средних долей сохранившихся боевых единиц каждой стороны:

Из анализа полученных выражений для и следует:

1. Если , то побеждает первая сторона

2. Если , то побеждает вторая сторона

3. Если , то боевая мощь каждой стороны убывает в равной степени («ничья»)

4. Продолжительность боя определяется из уравнения для побежденной стороны:

, где

откуда

, где ,

1. Потери победившей стороны определяются:

, т.к. (из 4), то

Учебный вопрос № 2.

Вычисление показателей эффективности боевых действий группировок с использованием моделей типа Б.

При построении модели типа «Б» вводятся допущения, отличающиеся от допущения, применяющихся в модели «А»:

1. Каждая сторона не получает информации о пораженных единицах противника, поэтому не производится перенос огня.

2. Огонь каждой стороны распределяется равномерно по всем единицам противника (в том числе по уже пораженным), поэтому каждая непораженная единица поражается успешным выстрелом с вероятностью .

С учетом допущений, потери каждой стороны за время определяются следующим образом:

, где

В модели Б нагляднее под и понимать не доли сохранившихся боевых единиц, как в модели А, а доли не пораженных площадей плацдармов. Модель Б отличается от модели А более медленным убыванием доли сохранившихся сил.

Получение решений.

Представим уравнения в виде:

где

Разделив 1-ое уравнение на 2-е, получим:

Откуда:

, где

Подставим выражение для в первое дифференциальное уравнение:

или

, где

Умножив правую и левую части равенства на будем иметь:

или

Откуда:

, где

или

или

Решив относительно , будем иметь:

Аналогично можно получить выражение для , тогда окончательно будем иметь:

При можно представить

Тогда

Из анализа полученных выражений для и следует:

1. Если - побеждает 1-я сторона

2. Если - побеждает 2-я сторона

3. Если - боевая мощь каждой стороны исчерпывается в равной степени

4. Продолжительность боя можно найти из уравнения для побежденной стороны

- минимальная доля единиц группировки, способной вести бой

откуда

где

5) Потери победившей стороны:

Учебный вопрос № 3.

Учет упреждающего удара и использование резервов при моделировании боевых действий группировок.

В условиях поставленной задачи вводятся дополнительные сведения (модель А):

1. Красные и синие начинают бой группами самолетов, представляющими собой доли и от численностей и .

2. Используя внезапность, первыми открывают огонь красные и спустя время открывают огонь синие.

3. Красные через время вводят в бой свой резерв из оставшихся боевых единиц равномерно в речении времени , а синие через время вводят в бой свой резерв из оставшихся боевых единиц равномерно в течении времени .

4. Бой проигрывает та сторона, у которой останется меньше боевых единиц.

Определить заданные показатели.

Построение модели и выбор метода решения задачи.

Изменения численности каждой стороны за время можно представить в виде:

где

При решении системы дифференциальных уравнений можно использовать численный метод Эйлера:

Учебный вопрос № 4.

Алгоритмы вычисления показателей эффективности боевых действий группировок с использованием аналитических моделей.

1. Алгоритм вычислений показателей эффективности для модели А.

Последовательность вычислений.

2. Алгоритм вычислений показателей эффективности для модели Б.

Последовательность вычислений.

Задание на самостоятельную работу.

В качестве задания на самостоятельную подготовку может быть предложено закончить построение алгоритмов счета показателей эффективности боевых действий группировок.

Занятия 5,6. Оценка эффективности боевых действий группировок с использованием статистических моделей

Время: 4 часа.

Учебная и воспитательная цели:

Научить студентов строить статистические модели динамики боевых действий, дать практику в их использовании и анализа результатов моделирования.

Воспитать чувство ответственности за выполнение данного этапа работы.