LEK4-1 (Методическая разработка для проведения занятий по военно-специальной подготовке со студентами, обучающимися по ВУС - 530700)

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

ФАКУЛЬТЕТ ВОЕННОГО ОБУЧЕНИЯ

КАФЕДРА ВОЙСК ПВО

У Т В Е Р Ж Д А Ю

Начальник военной кафедры Войск ПВО

ФВО при МГУ им. М.В. Ломоносова

полковник И.Я. КАЛАШНИКОВ

“ “ _____________ 1997 г.

ЛЕКЦИЯ

по военно-специальной подготовке

ВУС - 530700

ТЕМА 4 МЕТОД СТАТИСТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ
ДЛЯ ОЦЕНКИ ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРЕЛЬБЫ

Занятие 4.1 Оценка эффективности стрельбы по рассредоточенной и

компактной групповой цели.

Обсуждена на методическом заседании цикла №24

протокол №____ от “ “ _____________ 199 г.

МОСКВА - 199 год

Учебные цели:

Изучить показатели эффективности стрельбы по групповым целям. Изучить особенности расчета показателей эффективности при различных методах стрельбы. Изучить методы приближенных расчетов показателей эффективности.

ВРЕМЯ - 2 часа

Учебные вопросы:

1. Определение и классификация групповых целей. Показатели эффективности стрельбы по групповым целям.

2. Стрельба по рассредоточенной групповой цели без переноса огня.

3. Стрельба по рассредоточенной групповой цели с переносом огня.

4. Стрельба по компактной групповой цели.

5. Замена биноминального распределения пуассоновским при вычислении вероятности поражения единиц групповой цели.

6. Применение центральной предельной теоремы теории вероятностей при оценке эффективности стрельбы по групповой цели.

Учебный вопрос №1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ И КЛАССИФИКАЦИЯ ГРУППОВЫХ ЦЕЛЕЙ. ПОКАЗАТЕЛИ ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРЕЛЬБЫ ПО ГРУППОВЫМ ЦЕЛЯМ.

Определение. Групповой целью (ГЦ) называется совокупность отдельных целей, стрельба по которым преследует общую задачу - нанести цели такой ущерб, чтобы противник не смог выполнить боевое задание в составе группы.

Отдельные цели, входящие в ГЦ, называются единицами. ГЦ бывают рассредоточенными и компактными.

Определение. Групповая цель называется рассредоточенной, если расстояния между единицами велики по сравнению с размерами зон поражения снарядов и областью их рассеивания. Следовательно, снаряд, предназначенный для поражения одной единицы, не может поразить другую. В противном случае ГЦ называется компактной, то есть, если либо одним снарядом может быть одновременно поражено несколько единиц, либо поражается только одна, но обязательно та, по которой был произведен выстрел.

Примерами ГЦ могут служить: звено самолетов, соединение танков, караван судов, группа ракет, колонна автомашин.

При стрельбе по ГЦ, состоящей из N единиц, могут быть поставлены следующие задачи:

1. поразить максимально возможное число единиц;

2. поразить не менее K единиц;

3. поразить все N единиц.

(При вычислениях для компактной ГЦ аналитические выражения очень сложны, поэтому пользуются методом статистических испытаний).

Соответственно показателями эффективности будут:

1. , где случайная величина - число пораженных единиц (необходимо максимизировать);

2. ;

3. .

Чаще всего при стрельбе по ГЦ ставится первая задача.

Обозначим через - вероятность поражения i единиц в составе ГЦ, тогда

;

; , таким образом, задача оценки стрельбы сводится к построению ряда распределения случайной величины , т.е.

Методы расчета показателей эффективности стрельбы зависят от типа ГЦ (рассредоточенные, компактные) и от способа ее обстрела (без переноса огня, с переносом огня).

Стрельба без переноса огня производится тогда, когда по условиям нехватки времени невозможно наблюдать результат каждого выстрела. Если условия стрельбы позволяют наблюдать результат каждого выстрела и переносить огонь, то обстрел единиц ведется в последовательном порядке, причем огонь переносится на другую единицу только после того, как обстреливаемая единица будет поражена.

Перенос огня имеет смысл только для рассредоточенной ГЦ.

Учебный вопрос №2.

СТРЕЛЬБА ПО РАССРЕДОТОЧЕННОЙ ГРУППОВОЙ ЦЕЛИ

БЕЗ ПЕРЕНОСА ОГНЯ.

Каждая единица ГЦ обстреливается независимо от остальных заранее назначенным количеством выстрелов n_i ( - общее количество выстрелов) и поражается «обобщенным» выстрелом с вероятностью P_i (i=1..N). В частном случае, когда выстрелы по одной единице независимы и стрельба ведется без накопления ущерба, то (обобщенный выстрел n_i снарядов, которые летят по цели), где r_i - безусловная вероятность поражения i-той цели при одном выстреле.

Положим , где - независимые случайные величины:

, p_i предполагаются заданными (рассчитанные, например, методом статистических испытаний).

По определения производящей функции случайной величины

( ,

т.к. независимы, то производящая функция случайной величины :

С другой стороны , откуда

Или короче это запишется так:

Если , то имеем биноминальное распределение и .

Из представления , так что для решения i-ой задачи искать не нужно.

Практическое применение формул для при больших N неудобно, так как приходиться многократно суммировать очень малые числа вида или умножать малые числа на большие .

При реализации вычислений на ЭВМ можно воспользоваться рекуррентной формулой:

где W_ij - вероятность поражения i единиц j обобщенными выстрелами.

Действительно, при

При вычисления прекращаем и полагаем .

Учебный вопрос №3.

СТРЕЛЬБА ПО РАССРЕДОТОЧЕННОЙ ГРУППОВОЙ ЦЕЛИ

С ПЕРЕНОСОМ ОГНЯ.

Пронумеруем единицы групповой цели в том порядке, в каком намечено производить их обстрел i=1..N. На обстрел всей цели выделено n снарядов. Только после поражения очередной единицы огонь переносится на следующую. Обстрел ГЦ заканчивается, если произведены все n выстрелов или поражены все N единиц ГЦ.

Пусть выстрелы независимы, накопление ущерба отсутствует. Положим . Обозначим: - «i-тая единица поражена при очередном выстреле». ; . Будем считать события независимыми.

Требуется построить ряд распределения .

;

В общем случае:

, где - однородный полином степени n-k относительно .

.

Если , то . Эти формулы справедливы для случая , если , то определяются так же, как и раньше, а .

Здесь справедлива следующая рекуррентная зависимость, которая имеет очевидный смысл:

- вероятность поражения ровно i единиц j выстрелами. Для того, чтобы формула работала в крайних точках, надо положить = 0; = 0; = 0.

Если , то необходимо количество единиц ГЦ дополнить до n фиктивными единицами с вероятностями поражения = 0.

Учебный вопрос №4.

СТРЕЛЬБА ПО КОМПАКТНОЙ ГРУППОВОЙ ЦЕЛИ.

Составим производящую функцию:

,

где p_i - вероятность поражения i - той цели при одном выстреле;

- вероятность непоражения ни одной цели при одном выстреле.

Зная коэффициенты при всех членах разложения, следующим образом найдем любую из вероятностей .

равно свободному члену разложения ;

есть сумма коэффициентов всех членов, содержащих только одну из величин все равно какую и в какой степени (индекс z показывает номер пораженной цели, а степень - сколько раз она поражена); вообще вероятность есть сумма коэффициентов тех членов, которые содержат ровно k из величин (все равно каких и в какой степени).

Формулы для в этом случае сложны, поэтому основной способ решения - метод статистических испытаний.

Учебный вопрос № 5

ЗАМЕНА БИНОМИНАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНОВСКИМ ПРИ ВЫЧИСЛЕНИИ ВЕРОЯТНОСТИ ПОРАЖЕНИЯ ЕДИНИЦ ГРУППОВОЙ ЦЕЛИ.

Для приближенной оценки эффективности стрельбы по рассредоточенным групповым целям можно воспользоваться распределением Пуассона.

Рассмотрим сначала условия, при которых биноминальное распределение может быть заменено пуассоновским.

Пусть стрельба по рассредоточенной групповой цели ведется без переноса огня, тогда при вероятность поражения ровно k единиц , а производящая функция = = .

Если , а - конечное (на практике: N - велико, p - мало, - не мало и не велико, например, N=100, p=0.01, =1), тогда

= = - производящая функция распределения Пуассона.

= = (по определению производящей функции),

где - распределение Пуассона,

- распределение Бернулли.

То есть, из сходимости последовательности производящих функций распределения Бернулли к производящей функции распределения Пуассона следует и сходимость самих распределений. Таким образом,

.

Теперь рассмотрим случай, когда все различны: = ; , - конечное число.

= (берем первый член разложения логарифма в ряд Тейлора) = .

.

Учебный вопрос № 6

ПРИМЕНЕНИЕ ЦЕНТРАЛЬНОЙ ПРЕДЕЛЬНОЙ ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ПРИ ОЦЕНКЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ СТРЕЛЬБЫ ПО ГРУППОВОЙ ЦЕЛИ.

Когда число единиц N и число выстрелов n велико, то вычисление ряда распределения случайной величины становится слишком трудоемким. В этом случае прибегают к различным оценкам.

Для оценки вида можно воспользоваться центральной предельной теоремой теории вероятностей.

Если случайную величину можно представить в виде суммы независимых случайных величин с математическим ожиданием и дисперсиями , и величины сравнимы по порядку своего влияния на рассеивания суммы , а достаточно велико, чтобы закон распределения случайной величины можно было считать нормальным, то

,

где ; ; . (Для рассредоточенной групповой цели при стрельбе без переноса огня ).

На практике центральной предельной теоремой пользуются, когда бывает порядка 10. Полагая , где - половина длины участка, симметричного относительно , в который с вероятностью попадает случайная величина и учитывая нечетность функции Лапласа, будем иметь:

,

т.е. с заданной вероятностью можно утверждать, что , где находят по таблицам для функции Лапласа.

Методическое пособие разработал

Ст. преподаватель 24 цикла С. ШВЫДКОВ