Г.З. Шарафутдинов, Е.Д. Мартынова - Поляризационно-оптический метод исследования напряжений

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

имени М.В.ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

Поляризационно-оптический метод исследования напряжений

Пособие по механическому практикуму

Г.З.Шарафутдинов, Е.Д.Мартынова

Москва 2011 год

Г.З.Шарафутдинов, Е.Д.Мартынова

Поляризационно-оптический метод исследования напряжений

Пособие по механическому практикуму

Данная работа является учебно-методическим пособием к задаче общего механического практикума «Поляризационно-оптический метод исследования напряжений», выполняемой студентами 3 курса отделения механики механико-математического факультета МГУ. В ней излагаются физические основы метода, описываются устройства полярископов, подробно описывается метод определения напряженного состояния в плоских образцах на основе наблюдаемых в эксперименте картин изоклин и полос и приводится ряд задач, для решения которых рассматриваемый метод может быть использован.

Для студентов, аспирантов и научных сотрудников, изучающих и использующих поляризационно-оптический метод.

Рецензент — профессор Р.А.Васин

© Механико-математический факультет МГУ, 2011 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Цель работы 4

Введение 4

Теоретические основы метода 5

Анализ распространения света в полярископах 9

Оптическая схема полярископа БПУ (ИМАШ-КБ-2) 15

Примеры применения метода фотоупругости 16

Определение компонент тензора напряжений в плоской модели 21

Порядок выполнения и оформления работы 25

Вопросы к зачету по практикуму 26

Литература 27

Поляризационно-оптический метод исследования напряжений

(Метод фотоупругости)

Цель работы. Изучение основ поляризационно-оптического метода исследования напряжений и его применение для исследования поля напряжений в упругих моделях.

Введение. В 1813-1815 г.г. Зеебек и Брюстер установили, что при воздействии нагрузки многие прозрачные материалы, получившие название оптически чувствительных, приобретают свойства, присущие двулучепреломляющим оптически анизотропным кристаллам. Однако в отличие от кристаллов, такие материалы при прекращении механического воздействия вновь становятся оптически изотропными. Поэтому обнаруженный факт был назван явлением временного двойного лучепреломления (ЯВДЛ). Именно это явление лежит в основе поляризационно-оптического метода исследования напряжений. ЯВДЛ возникает в результате поляризации диэлектриков [1], вызванной внешними воздействиями. Как известно, явление поляризации сводится к изменению расположения в пространстве электрически заряженных частиц, составляющих вещество диэлектрика, и к изменению внутреннего электрического поля.

Поляризационно-оптический метод исследования напряжений используется для определения напряжений в задачах теории упругости, пластичности, линейной и нелинейной вязкоупругости и других задачах нелинейного и неупругого деформирования, в том числе, и при конечных деформациях. В тех случаях, когда речь идет об упругих моделях, может быть применен термин «метод фотоупругости».

Развитие вычислительной техники и численных методов несколько сузили традиционную область применения поляризационно-оптического метода исследования напряжений. Однако он продолжает играть важную роль при решении задач механики деформируемого твердого тела (МДТТ), в том числе в механике композитов, теории трещин, в задачах

упруговязкопластичности и т. п. (см. [2–4]). С точки зрения измерения характеристик напряженно-деформированного состояния поляризационно-оптический метод исследования напряжений является одним из наиболее информативных и точных экспериментальных методов МДТТ. По этой причине он с большим эффектом может быть использован в качестве средства верификации аналитических, численных, а также других экспериментальных методов МДТТ. Ценность метода фотоупругости заключается также в том, что он позволяет моделировать в прозрачных образцах напряженные состояния, возникающие в пластинах из оптически неактивных и вообще непрозрачных материалов, например, металлов. Возможность моделирования основана на теореме Леви--­­­­Мичелла [5], согласно которой для упругих тел в плоских задачах распределение напряжений при заданном нагружении на контуре не зависит от механических характеристик материала. Это верно для односвязных областей или для многосвязных областей, когда система сил, действующих на каждый граничный контур, статически эквивалентна нулю. Теорема имеет место при плоской деформации и обобщенном плоском напряженном состоянии (ОПНС), поскольку постановка задачи для средних по толщине характеристик напряженно-деформированного состояния в случае ОПНС математически идентична постановке задачи о плоской деформации [5].

В силу индифферентности ЯВДЛ к причинам, его генерирующим, на базе метода фотоупругости легко развить поляризационно-оптические методы исследования материалов при различных воздействиях, приводящих к появлению этого эффекта. ЯВДЛ может быть использовано для исследований в таких областях как лазерная техника, волоконная оптика, методы цифровой обработки изображений и ряде других [3].

Теоретические основы метода. Все испытываемые в ходе работы образцы изготовлены из одного и того же материала (эпоксидной смолы) и представляют собой плоские детали различной формы. При реализуемых в экспериментах нагрузках в них создается обобщенное плоское напряженное состояние (ОПНС). Это означает, что в декартовой системе координат , ось которой направлена перпендикулярно плоскости образца, компоненты тензора напряжений при , и их средние по толщине значения также равны нулю. Если толщина пластины мала по сравнению с линейными размерами в плоскости , с большой точностью

можно положить, что всюду в пластине, и тензор напряжений задается тремя компонентами , , , причем изменением этих величин по толщине также пренебрегается. В данной работе удобнее пользоваться другими тремя величинами: главными компонентами тензора напряжений , и углом , задающим ориентацию главных осей относительно системы координат . Именно эти величины будут определяться в ходе работы.

Оптические явления, происходящие в нагруженном образце из оптически чувствительного прозрачного материала, проанализируем на основе уравнений Максвелла, имеющих для диэлектриков следующий вид [6]:

(1)

.

Здесь - вектора напряженности электрического поля, электрической индукции, магнитной индукции и напряженности магнитного поля соответственно, с - скорость света в вакууме. Используем также материальные уравнения, устанавливающие связь векторов и , а также и . Для рассматриваемых материалов эти уравнения имеют вид

,

, (2)

где - тензор диэлектрической проницаемости.

Учитывая, что в отсутствие напряжений материал является оптически изотропным с коэффициентом диэлектрической проницаемости , представим в виде

, (3)

где - единичный тензор, , причем , т. к. отражает изменение оптических свойств материалов при приложении нагрузки. В данной работе связь оптических и механических характеристик для используемых модельных материалов предполагается прямопропорциональной

, , (4)

поэтому соотношение (3) принимает вид

. (5)

Применяя операцию к уравнению , учитывая и , получим уравнение для вектора напряженности электрического поля

. (6)

Будем искать решение уравнения (6) в виде плоской поперечной волны, распространяющейся в направлении оси

. (7)

Так как , а в силу предположения (7) и , из (6) получим [7]

. (8)

Представим решение этого уравнения в виде

, . (9)

Здесь - круговая частота, - волновое число, - фаза волны, и - скорость волны и ее длина соответственно. Подставляя (9) в (8), получим

. (10)

Это система линейных однородных уравнений относительно . Она имеет нетривиальное решение при

, _. (11)

Из этого уравнения, являющегося характеристическим уравнением для матрицы , находятся волновые числа . Обозначим через , собственные значения тензора диэлектрической проницаемости. Тогда, из (11) очевидно, что

. (12)

Каждому соответствует свой вектор из (9), причем, если , векторы и будут ортогональны, как собственные векторы симметричного тензора , отвечающие различным собственным значениям.