2 (Электродинамика), страница 5

1. Поток напряженности магнитного поля через любую замкнутую поверхность равен нулю, т.е.

2. Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по любому замкнутому контуру L, пропорциональна алгебраической сумме сил токов, пересекающих поверхность S, ограниченную этим контуром, т.е. .

1. Дивергенция вектора напряженности магнитного поля равна нулю: .

2. Ротор напряженности магнитного поля равен плотности тока проводимости:

Ротор и дивергенция как математические величины, содержащие производные, задаются в областях, удовлетворяющим определенным условиям, в частности, ими нельзя пользоваться на поверхностях разрыва вектора и поэтому важно постановить граничные условия. Используя математические операции можно показать, что нормальные составляющие вектора напряженности магнитного поля на границе двух сред не изменяются, т.е. если - нормальная составляющая напряженности магнитного поля во второй среде, - нормальная составляющая напряженности магнитного поля в первой среде, то - =0. Это условие записывают, используя символ ,

т.е. - =0.

Ч то касается тангенциальных составляющих вектора , и , то для них граничное условие имеет вид , где - есть перпендикулярная к слагающая плотности поверхностного тока (рис. 13). Под N нужно понимать единичный вектор, касательный к поверхности и перпендикулярный к касательному же к поверхности вектору . Под плотностью поверхностных токов понимают количество электричества, протекающего в единицу времени через единицу длины отрезка, расположенного на поверхности, по которой течет ток, и перпендикулярного направлению тока. Если отлично от нуля, то сила протекающего через заштрихованную площадку в пределе будет равна , где - есть перпендикулярная к слагающая плотности поверхностного тока. Это условие обычно записывают, используя символ : .

Здесь введен индекс вместо , чтобы сохранить за значение нормали

к поверхности раздела ( направленно из среды 1 в среду 2). Под надо понимать единичный вектор, касательный к поверхности и перпендикулярный к касательному же вектору . Из рассмотрения рис. 13, в котором, соответственно избранному нами направлению отхода заштрихованной площадки , вектор должен быть направлен перпендикулярно плоскости “на нас”, (единичные векторы , , связаны соотношением ).

М агнитное поле постоянных токов, как и поле электрическое, можно представить графически с помощью силовых линий магнитного поля. По определению магнитной силовой линией называется линия, направление касательных к которой в каждой точке поля совпадает с направлением вектора в той же точке. Дифференциальное уравнение магнитной силовой линии:

Магнитные силовые линии проводят обычно с таким расчетом, чтобы в любом участке поля число линий, пересекающих перпендикулярно к ним площадку единичной поверхности, было пропорционально напряженности поля на этой площадке. Из анализа математических выражений, полученных для магнитного поля следует, что силовые линия магнитного поля должны быть линиями замкнутыми или идти из бесконечности в бесконечность (рис. 14).

2.5.3.Магнитное поле молекулярных токов. (Магнитное поле в непроводящей среде)

Так как молекулярные токи существуют в строго ограниченных областях (например, в объеме молекулы), то в макроскопических объемах их прямое измерение невозможно. Поэтому нужна удобная количественная характеристика магнитных свойств среды, связанная с молекулярными токами. Такой мерой является магнитный момент, создаваемый молекулярными токами. Другими словами, мерой намагниченности магнетика является вектор намагниченности , равный магнитному моменту молекулярных токов, приходящемуся на единицу объема магнетика, т.е. . Этот вектор (по аналогии с вектором электрической поляризации) называют также магнитной поляризацией.

В учебнике Д.В. Белова «Электромагнетизм и волновая оптика» дан вывод формулы, связывающий величину молекулярных токов У с вектором намагниченности (стр. 73). Сама формула имеет вид , т.е. полный молекулярный ток через поверхность S равен циркуляции вектора намагниченности по контуру L, ограничивающему эту поверхность. Так как по определению ток равен потоку вектора плотности тока через поверхность S, то . Используя математическую формулу теории поля , можно получить связь плотности молекулярных токов и вектора намагниченности: .

В однородно намагниченных средах ( ) плотность молекулярных токов равна нулю. На границе намагниченных магнетиков и вакуума имеются поверхностные молекулярные токи, так как в вакууме . Существует общая формула, которая связывает величину поверхностного молекулярного тока с вектором намагниченности на границе двух сред. Она имеет вид , где и значения вектора по обеим сторонам поверхности разрыва, а – нормаль к этой поверхности, направленная от 1 к 2.

Это выражение записывают, используя символ , т.е. = . Согласно этой формуле, на границе магнетика и вакуума плотность поверхностного молекулярного тока .

В качестве примера рассмотрим цилиндрический магнит, однородно намагниченный по всему объему параллельно своей оси. Внутри магнита плотность молекулярных токов равно нулю. На основаниях цилиндра поверхностных токов также не будет, так как нормаль к этим основаниям параллельна .

Н ормаль к боковой поверхности цилиндра перпендикулярна к , и поэтому плотность поверхностных молекулярных токов на боковой поверхности цилиндра будет отлична от нуля и равна .

Качественное объяснение происхождения поверхности токов на границе магнетика и вакуума может быть дано с помощью рис. 15.

На рис. 15 схематично изображен поперечный разрез магнита. Совокупность молекулярных токов внутри магнита может быть представлена как совокупность токов одинаковой силы, обтекающих каждую ячейку (молекулу) магнита в одинаковом направлении, например, против часовой стрелки. Внутри магнита токи смежных молекул взаимно компенсируются, на поверхности же магнита они складываются в круговой ток, обтекающий магнит по поверхности.

2.5.4.Магнитное поле в проводящей среде

В любой микроскопической области проводящего магнетика могут существовать токи проводимостью с плотностью и молекулярные токи с плотностью и т.о. плотность общего микроскопического тока.

= +

Эти токи создают в микроскопической области магнитное поле напряженностью , для которого справедливы уравнения:

Чтобы получить уравнение для макроскопической области, надо усреднить параметры по макроскопическому объему.

Усреднение приводит к выражениям:

= +

Среднее значение токов проводимости равно плотности макроскопического тока проводимости , т.е. ,

а среднее значение молекулярного тока .

Таким образом, или

В электростатике напряженность макроскопического электрического поля

по определению равна средней напряженности <Е микро> микроскопического поля; Казалось бы, и в случае магнитостатики надо поступить аналогично, т.е. определить напряженность макроскопического магнитного поля как среднюю напряженность поля микроскопического.

Однако исторически сложилось по другому. Напряженность магнитного поля в магнитной среде в системе СИ определили как , а среднее значение напряженности микроскопического поля назвали вектором магнитной индукции и обозначили . В новых обозначениях уравнения приняли вид:

, ,

Что касается граничных условий для магнитного поля, то для нормальных составляющих вектора магнитной индукции на границе сред и , то - = 0 или символически = - = 0 . Что касается вектора , то для его касательных составляющих сохраняются те же граничные условия, что и для случая вакуума , и если поверхностных токов нет, то .

Вектор считается основной силовой характеристикой поля, вектор иногда называют неосновной или вспомогательной величиной. В чем состоит «вспомогательность»? Дело в том, что, по сути, этот вектор обусловлен только токами проводимости; действительно или в интегральном представлении

В магнитных системах легче всего контролировать именно токи проводимости, поскольку экспериментальное определение величин и может быть очень сложным. Поэтому очень полезно иметь величину, которую легко определить непосредственно.