Dmitriev1 (Лекции Дмитриева)

п.1. Понятие дифференциального уравнения.

Математические модели, описываемые обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение является основой математического моделирования. Кратко о математическом моделировании. Дифференциальным уравнением называется соотношение между функциями и их производными. Если функции одной переменной, то имеем обыкновенные дифференциальные уравнения, если функции нескольких переменных, то дифференциальное уравнение в частных производных. Наш курс посвящен исследованию обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть на отрезке [0,T] определена n раз дифференцируемая функция и ее производные . Переменные образуют (n+2) – мерное пространство. Если в области определена функция то соотношение

(1.1)

называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Решением (1.1) называется n-раз дифференцируемая функция , заданная на [0,T] и обращающая соотношение (1.1) в тождество. Порядком уравнения называется порядок старшей производной в (1.1). Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид:

. (1.2)

Уравнение, разрешенное относительно старшей производной, легко записать в виде системы первого порядка

(1.3)

Общий вид системы первого порядка, разрешенной относительно производных, называют нормальной системой

. (1.4)

Решением системы (1.4) называют совокупность дифференцируемых функций , определенных на отрезке [0,T], которые при подстановке в (1.4) обращают их в тождество. При моделировании могут быть непрерывными или разрывными, соответственно определяют функции . Мы будем считать в дальнейшем непрерывными функциями. Процесс нахождения решения называется интегрированием дифференциального уравнения.

Задача для дифференциального уравнения или системы состоит из уравнения (или системы) и дополнительных условий, которые должны обеспечить существование и единственность решения этой задачи. Обыкновенные дифференциальные уравнения моделируют явления и процессы, которые описываются одной функцией или вектор-функцией одного переменного.

1.1 Временные процессы, где y(t) характеризует изменение какого-либо параметра во времени. Обычно математическая модель описывает связь между , скоростью и ускорением процесса в виде:

или более простая модель, связывающая со скоростью , в виде:

.

Если мы имеем несколько параметров модели , связанных между собой и со скоростью и ускорением их изменения, то имеем системы дифференциальных уравнений в виде:

(1.5)

или, если связаны и ,

.

Система (1.4) является нормальной, а система (1.5) не является нормальной. Систему (1.5) можно перевести в нормальную, если ввести обозначения , где

.

Тогда имеем нормальную систему для

,

где ,

.

П р и м е р ы м а т е м а т и ч е с к и х м о д е л е й

д л я в р е м е н н ы х п р о ц е с с о в:

1. Радиоактивный распад .

 — масса распадающегося вещества. Количество распавшегося вещества пропорционально количеству и времени, т.е.

при имеем

. (1.6)

Решение дифференциального уравнения . Дополнительно условие – , тогда задача

Решение задачи : .

2. Размножение с миграцией.

– численность популяции, изменяющейся во времени,

– миграция. Уравнение имеет вид:

.

Его решение .

Дополнительные условия: . Тогда задача имеет вид:

Решение задачи:

.

1.2 Пространственные процессы, где y(x) описывает распределение параметра процесса вдоль оси Оx. Модели

(1.7)

или

. (1.8)

П р и м е р м а т е м а т и ч е с ко й м о д е ли

п р о с т р а н с т в е н н о г о п р о ц е с с а:

Равновесие атмосферы в поле сил тяжести.

Давление и плотность воздуха в атмосфере изменяются с высотой ( =0 земная поверхность). Если выделить маленький цилиндрический объем в воздухе высотой и площадью сечения , то его вес равен , где  — земное ускорение. На этот цилиндр действует сила за счет разности давления на разных концах цилиндра. Условие равновесия дает соотношение

или .

Для того, чтобы получить окончательно дифференциальное уравнение, необходимо из уравнения Клайперона , выразить плотность через давление :

; — температура воздуха.

Откуда имеем

. (1.9)

Решение этого уравнения дает барометрическую формулу

, , (1.10)

которая определяет убывание давления с высотой при известном распределении температуры .

п.2. Постановка задачи с начальными данными

(задача Коши). Понятие корректной постановки задачи.

Лемма Гронуолла–Беллмана.

Рассмотрим вначале систему дифференциальных уравнений

. (2.1)

Ее решение представляет кривую в (n+1)-мерном пространстве Эта кривая называется интегральной кривой. Подпространство называют фазовым пространством. Проекция интегральной кривой на это пространство называется фазовой траекторией (или просто траекторией).(Пример из балистики).

Cистема (2.1) в каждой точке области D, где определена , определяет направление . Эта область с заданным направлением называется полем направлений. Кривые, определенные уравнением , называют изоклинами. Это кривые в поле направлений выделяют постоянный наклон.

П р и м е р для уравнения I порядка ; например, изоклины окружности.

Семейство интегральных кривых однопараметрическое – это общее решение дифференциального уравнения. Если положить (фиксированное значение), то мы получаем частное решение. Для однозначности решения (определение интегральной кривой) надо задать начальную точку, через которую проходит интегральная кривая .

Таким образом, задача Коши:

1) для уравнения I порядка

(2.2)

2) для системы уравнений I порядка

(2.3)

3) для уравнения n-го порядка

(2.4)

.

Корректность постановки задачи (Адамар)

При данной постановке задачи решение должно

1) существовать и

2) быть единственным.

Это определяет математическую разрешимость задачи. Кроме того, должно выполняться условие:

3) решение задачи должно быть устойчивым по отношению к изменениям правой части и начальных данных. Это определяет физическую детерминированность задачи.

Формулировка устойчивости решения: для существует такое , что из условия

и следует , где

.

Мы последовательно должны рассмотреть все вопросы корректности задачи Коши.

Л е м м а Гронуолла – Беллмана.

Если непрерывная функция Z(t) удовлетворяет условию при

, (2.5)

то выполняется оценка

. (2.6)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Вначале выведем дифференциальную оценку.

Из при и следует

. (2.7)

Теперь проведем общее доказательство.

2) Введем .

Подставим в (2.5)

. (2.8)

Тогда, согласно (2.7), получаем

или, подставив в правую часть (2.8) получим неравенство

.

Лемма доказана.

п.3. Теорема единственности решения задачи Коши для уравнения I-порядка, разрешенного относительно

производной.

Рассмотрим задачу Коши:

(3.1)

Л е м м а 3.1. Задача Коши (3.1) эквивалентна интегральному уравнению

. (3.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть решение задачи Коши (3.1) . Подставив в (3.1), получим тождество, которое можно проинтегрировать, и тогда имеем (3.2) решение задачи Коши (3.1) является решением интегрального уравнения (3.2). В обратную сторону,если решение интегрального уравнения (3.2), то в силу непрерывности по интеграл в (3.2) является дифференциальной функцией. Продифференцировав (3.2), получим (3.1) решение интегрального уравнения является решением задачи Коши. Лемма доказана.

Т е о р е м а 3.1 Решение задачи Коши (3.1) для дифференциального уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной единственно, если

1) непрерывна по t и y в области

;

2) удовлетворяет в области R условию Липшица по y т.е.

.

Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы 3.1.

Редуцируем задачу Коши в предположении решения к интегральному уравнению (3.2). Предположим, что оно имеет два решения и . Тогда их разность удовлетворяет соотношению

.

Сделаем оценку, используя условия Липшица

при ,

где выбирается так, что и можно использовать условия Липшица. Так как , то по лемме Гронуолла - Беллмана при имеем

. Теорема доказана.

Дальше можно распространить доказательство на больший интервал по , пока выполняются условия теоремы. Для линейного уравнения единственность доказывается сразу для всего интервала по , т.к. условия теоремы по выполняются на всем интервале .

п.4. Теорема существования решения задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной.

Т е о р е м а 4.1. Решение задачи Коши (3.1) при выполении условий (1) и (2) теоремы 3.1 существует в интервале , где , где в R.