Программа курса по комплану, 2-й поток

ПРОГРАММА КУРСА

«ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО»

(2-й поток, весенний семестр 2004, лектор — А.Г.Сергеев)

1. Логарифмический вычет. Число нулей и полюсов функции, мероморфной в области. Принцип аргумента.

2. Теорема Руше. Принцип сохранения области.

3. Локальное обращение голоморфных функций. Необходимое условие локальной однолистности.

4. Теорема Гурвица. Предел последовательности однолистных голоморфных функций.

5. Принцип максимума модуля. Лемма Шварца.

6. Локально равномерно ограниченные семейства голоморфных функций.

7. Теорема Монтеля. Непрерывные функционалы на компактных семействах функций.

8. Автоморфизмы основных областей (расширенная плоскость, комплексная плоскость, единичный круг).

9. Теорема Римана.

10. Принцип соответствия границ. Теорема Каратеодори (без доказательства).

11. Принцип симметрии.

12. Конформное отображение верхней полуплоскости на прямоугольник.

13. Формула Кристоффеля-Шварца.

14. Эллиптический синус. Периоды мероморфных функций.

15. Общие свойства эллиптических функций (теорема Лиувилля, вычеты и значения эллиптических функций в фундаментальном параллелограмме, суммы нулей и полюсов).

16. Функция Вейерштрасса.

17. Двоякопериодичность функции Вейерштрасса. Поведение функции Вейерштрасса и её производной в фундаментальном параллелограмме.

18. Поле эллиптических функций с заданной решёткой периодов и его образующие.

19. Дифференциальное уравнение для функции Вейерштрасса.

20. Параметризация кубической кривой с помощью функции Вейерштрасса.

21. Формула сложения точек на кубической кривой.

22. Модулярная функция.

23. Теорема Пикара.

[Mexmat.Net][http://www.mexmat.net/]