KURS3 (Вордовские лекции)

Из Т.14.1 и Т.14.4. следует

Т е о р е м а 14.5. Если - Ф.С.Р. уравнения то общее решение представимо в виде (14.1.):

.

Возникает вопрос: ли Ф.С.Р. для уравнения и единственна ли она.

Т е о р е м а 14.6. Фундаментальная система решений для уравнения

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Пусть дана некоторая матрица , такая, что ее определитель . Тогда введем как решение задач Коши:

Для этой системы определитель Вронского - линейно независимые функции Ф.С.Р. Т.к. систем с определителем бесконечное множество, то и Ф.С.Р. -бесконечное множество.

п.15. Построение дифференциального уравнения по известной Ф.С.Р. Формула Остроградского - Лиувилля.

Дана Ф.С.Р. Следовательно, известен порядок уравнения "n" (число функций в Ф.С.Р.). Можно ли по Ф.С.Р. определить коэффициенты уравнения, т.е. построить дифференциальное уравнение ?

(15.1)

Рассмотрим определитель

Выражение дает уравнение "n"- го порядка

причем коэффициент при в т.к. он равен определителю Вронского Т.е. уравнение и имеют одинаковые Ф.С.Р.

Заметим, что

.

Откуда определитель Вронского определяется через .

(15.2)

Это формула Остроградского - Лиувилля. находим из начальных данных, а по (15.2) при

Формула (15.2) позволяет получить общее решение уравнения 2-го порядка, если известно одно частное решение.

Пусть - известное решение и - общее решение. Тогда

или

,

или

Окончательно,

. (15.3).

п.16. Понижение порядка дифференциального уравнения при известном частном решении.

Т е о р е м а 16.1.Если известно частное решение уравнения то можно понизить порядок уравнения, введя новую неизвестную , для которой будем иметь . Причем по Ф.С.Р. для уравнения строится Ф.С.Р. для уравнения в виде:

(15.4).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим

Продифференцировав, получим

,

,

.............................................,

.

Подставив в уравнение получим ,

т.к. , получим

Откуда, если т.е. , получим

Следовательно,

Если есть Ф.С.Р.для ,

то при есть Ф.С.Р. для . Ясно удовлетворяет уравнению . Следовательно, надо доказать линейную независимость .

Предположим противоречие

.

Разделив на , получим

,

продифференцировав , что невозможно дляФ.С.Р.

п.17. Неоднородное линейное уравнение n-го порядка.

Рассматривается уравнение .

Т е о р е м а 17.1. Если - Ф.С.Р. уравнения , а - частное решение неоднородного уравнения , то любое решение неоднородного уравнения представимо в виде:

(17.1)

где - некоторые постоянные.

Доказательство следует из принципа суперпозиции теоремы 14.5 о представлении общего решения однородного уравнения.

Для определения частного решения неоднородного уравнения рассмотрим задачу Коши с нулевыми начальными данными:

Заметим, что, если правая часть уравнения представлена в виде:

,

то решение задачи Коши с нулевыми начальными данными имеет вид

,

где

(17.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Умножим (17.2) на и проинтегрируем . Т.к. можно переставить дифференцирование по t и интегрирование по , то получится окончательный результат.

Если взять такое, что

при , (17.3)

то из (17.2) следует

при . (17.4)

Тогда имеем

. (17.5)

Теперь возмем

Тогда

- непрерывная функция (17.6)

Следует из теоремы о среднем для Тогда, согласно (17.2 - 17.5), следует

, (17.7)

где где является решением задачи (17.2), где

Заметим, что при имеем при и т.д. до

Если берем , то из условия непрерывности имеем и т.д. до но (*)

Тогда при будем иметь (если мало) и т.д. до , но (согласно (*)).

(17.7)

Таким образом, является решением задачи при .

- переходная функция.

(17.8)

Т е о р е м а 17.2. Решение неоднородного уравнения с нулевыми начальными данными

представимо в виде (17.7), где является решением задачи Коши (17.8)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Проверим дифференцированием

................................................................................................................

Умножив на и просуммировав, получим

Получили нужное уравнение и нулевые начальные данные из теоремы ! имеет, что формула (17.7) правильная.

18. Линейное уравнение с постоянными коэффициентами. Исследование уравнения колебания маятника.

(18.1),

Исследуем уравнение 2-го порядка

(18.2)

1. Свободные колебания маятника .

Решение ищем в виде

если - комплексное ( ), то

Для имеем уравнение

,

Возможны три случая.

1. - действительные и отрицательные, причем различные. Общее решение т.к. линейно независимые функции

.

При начальных данных и получим:

.

Эти колебания не осциллирующие, а затухающие ( апериодически).

2. корни комплексные, сопряженные

,

и линейно независимые функции.

Общее решение

Решение осциллирует и затухает. Если , то (затухания нет) и имеем

.

3. Если , то имеем

.

Имеем одно решение .

Другим решением линейно независимым с является .

. Общее решение .

II Вынужденные колебания .

Пусть

Найдем переходную функцию .

Решение

Откуда вынужденные колебания

.

Если то имеем

.

Если то имеем

.

Если (нет затухания), а то

При имеем возрастание амплитуды колебаний (резонанс).

19. Общие свойства линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Уравнение с постоянными коэффициентами n-го порядка

(19.1)

Найти Ф.С.Р.

Вводится понятие характеристического многочлена

Л е м м а 19.1.Cправедливо тождество

(19.3)

Доказательство дифференцированием.

...........................................................................................................................................

Умножим на и, складывая, получим (19.3).

С л е д с т в и е. Если , то

(19.4)

Из условия имеем алгебраическое уравнение n - степени, у которого в общем случае корней кратности , причем

(19.5).

Т е о р е м а 19.1.

Корню характеристического уравнения кратности отвечает частных решений уравнения (19.1)

(19.6),

а функции (19.6) для всех образуют Ф.С.Р. для уравнения

Д о к а з а т е л ь с т в о.

1) Т.к. , то для имеем

.

Тогда в соответствии с (19.3) при