Билеты

Билет № 1
1. Конечные вероятностные пространства. Классическая вероятность. Задача о разделе ставки. Урновые схемы. Выборка с возвращением. Биномиальное распределение. Выборка без возвращения. Гипергеометрическое распределение.
2. Связь между задачами проверки гипотез и доверительным оцениванием.

Билет № 2
1. Вероятностное пространство, сигма-алгебра событий, вероятность. Примеры вероятностных пространств. Свойства вероятности.
2. Критерий однородности хи-квадрат. Критерий независимости хи-квадрат.

Билет № 3
1. Попарная независимость и независимость в совокупности для множества событий и дискретных случайных величин. Пример Бернштейна.
2. Критерии согласия Пирсона хи-квадрат для дискретных и абсолютно непрерывных распределений. Состоятельность критерия Пирсона.

Билет № 4
1. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса.
2. Задача о различении двух гипотез о доле шаров в урне. Ошибки первого и второго рода. Оценка снизу для числа наблюдений, необходимых для различения гипотез с заданной точностью.

Билет № 5
1. Дискретные случайные величины. Их распределения. Схема Бернулли. Случайные величины, связанные с испытаниями Бернулли.
2. Критерии согласия Пирсона хи-квадрат для дискретных и абсолютно непрерывных распределений. Асимптотика для критерия Пирсона, с доказательством для k=2 и без доказательства при k>2.

Билет № 6
1. Математическое ожидание для дискретных случайных величин. Его свойства. Математическое ожидание функции от случайной величины. Пример случайной величины, не имеющей математического ожидания.
2. Лемма Неймана-Пирсона. Равномерно наиболее мощные критерии. Состоятельные и несмещенные критерии.

Билет № 7
1. Моменты и центральные моменты k-го порядка. Дисперсия, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия для биномиального распределения. Среднеквадратическое отклонение.
2. Нерандомизированные критерии. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости, мощность критерия. Рандомизированные критерии. Функция мощности. Оптимальные критерии.

Билет № 8
1. Независимость в совокупности и попарная независимость дискретных случайных величин. Теорема о независимости двух функций от непересекающихся совокупностей независимых случайных величин. Мультипликативность математического ожидания.
2. Проверка гипотез. Примеры гипотез: о виде распределений, об однородности выборок, о независимости. Простые и сложные гипотезы.

Билет № 9
1. Ковариация, коэффициент корреляции, его свойства.
2. Доверительные интервалы. Трактовка коэффициента доверия. Построение доверительных интервалов с помощью центральной предельной теоремы.

Билет № 10
1. Неравенства Маркова и Чебышева. Правило трех сигм. Теорема Чебышева (ЗБЧ). Теорема Бернулли.
2. Доверительные интервалы. Трактовка коэффициента доверия. Методы построения интервальных оценок: использование точечных оценок, метод центральной статистики.

Билет № 11
1. Пуассоновское распределение. Теорема Пуассона. Оценка близости биномиальных вероятностей к пуассоновским (без доказательства).
2. Оценки максимального правдоподобия. Уравнения правдоподобия. Принцип инвариантности для оценок максимального правдоподобия.

Билет № 12
1. Локальная предельная теорема Муавра-Лапласа (без доказательства). Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа.
2. Полные статистики. Оптимальность оценок, являющихся функцией полной достаточной статистики.

Билет № 13
1. Вероятностное пространство. Сигма-алгебра, порожденная классом множеств. Борелевская сигма-алгебра. Теорема о единственности продолжения вероятности с алгебры на порожденную ею сигма-алгебру (без доказательства).
2. Теорема Рао-Блекуэлла-Колмогорова.

Билет № 14
1. Случайные величины как измеримые отображения. Функция распределения случайной величины. Ее свойства. Распределение случайной величины. Теорема о взаимнооднозначном соответствии между функциями распределения и вероятностными распределениями.
2. Достаточные статистики. Критерий факторизации.

Билет № 15
1. Абсолютно непрерывные случайные величины. Плотности распределений вероятностей, их свойства. Нормальное и стандартное нормальное распределения.
2. Метод моментов. Теорема о сходимости по вероятности для непрерывных функций от случайных величин, сходящихся по вероятности.

Билет № 16
1. Случайный вектор, его распределение и функция распределения. Плотность случайного вектора и его компонент. Нахождение маргинальных распределений по совместному распределению. Геометрические вероятности. Многомерное равномерное распределение.
2. Эффективность точечных оценок. Эффективные оценки. Относительная частота события как оптимальная оценка неизвестной вероятности.

Билет № 17
1. Сигма-алгебра, порожденная случайной величиной. Независимость случайных величин в терминах функции распределения и в терминах совместной плотности в случае ее существования.
2. Информация Фишера. Неравенство Рао-Крамера.

Билет № 18
1. Формула свертки.
2. Точечные оценки. Оптимальные оценки. Теорема о единственности оптимальной оценки.

Билет № 19
1. Лемма Бореля-Кантелли.
2. Точечные оценки. Несмещенные оценки, их свойства, примеры. Состоятельные оценки, их свойства, примеры.

Билет № 20
1. Операции над случайными величинами, не выводящие из класса случайных величин.
2. Вариационный ряд. Порядковые статистики и их распределения.

Билет № 21
1. Виды сходимости последовательностей случайных величин. Связь между ними. Характеризационное свойство сходимости почти всюду.
2. Эмпирическая функция распределения. Теорема Гливенко (без доказательства). Выборочные моменты, их асимптотическая нормальность.

Билет № 22
1. Определение математического ожидания в общем случае. Свойства математических ожиданий. Теорема о предельном переходе под знаком математического ожидания (без доказательства).
2. Статистическая структура. Параметрические семейства, примеры. Выборка. Статистика.

Билет № 23
1. Неравенство Колмогорова. Усиленный закон больших чисел Колмогорова. Метод Монте-Карло.
2. Критерий однородности хи-квадрат. Критерий независимости хи-квадрат.

Билет № 24
1. Производящие функции. Восстановление распределения по производящей функции. Производящая функция суммы случайного числа случайных величин. Задаче о числе животных на данном участке.
2. Связь между задачами проверки гипотез и доверительным оцениванием.

Билет № 25
1. Задача о вырождении фамилий. Теорема о вероятности вырождения.
2. Критерии согласия Пирсона хи-квадрат для дискретных и абсолютно непрерывных распределений. Состоятельность критерия Пирсона.

Билет № 26
1. Характеристические функции. Их свойства: равномерная непрерывность, мультипликативность для сумм независимых случайных величин, k-кратная дифференцируемость при существовании момента порядка k.
2. Критерии согласия Пирсона хи-квадрат для дискретных и абсолютно непрерывных распределений. Асимптотика для критерия Пирсона, с доказательством для k=2 и без доказательства при k>2.

Билет № 27
1. Формула обращения. Теорема о взаимнооднозначном соответствии между функциями распределения и характеристическими функциями.
2. Нерандомизированные критерии. Ошибки первого и второго рода. Уровень значимости, мощность критерия. Рандомизированные критерии. Функция мощности. Оптимальные критерии.

Билет № 28
1. Слабая сходимость последовательности случайных величин. Прямая теорема о непрерывном соответствии между характеристическими функциями и соответствующими вероятностными распределениями. Вторая теорема Хелли (без доказательства).
2. Проверка гипотез. Примеры гипотез: о виде распределений, об однородности выборок, о независимости. Простые и сложные гипотезы.

Билет № 29
1. Слабая сходимость последовательности случайных величин. Обратная теорема о непрерывном соответствии между характеристическими функциями и соответствующими вероятностными распределениями. Первая теорема Хелли (без доказательства).
2. Доверительные интервалы. Трактовка коэффициента доверия. Построение доверительных интервалов с помощью центральной предельной теоремы.

Билет № 30
1. Закон больших чисел в форме Хинчина.
2. Доверительные интервалы. Трактовка коэффициента доверия. Методы построения интервальных оценок: использование точечных оценок, метод центральной статистики.

Билет № 31
1. Центральная предельная теорема для независимых одинаково распределенных случайных величин. ЦПТ для разнораспределенных случайных величин (без доказательства).
2. Оценки максимального правдоподобия. Уравнения правдоподобия. Принцип инвариантности для оценок максимального правдоподобия.

Билет № 32
1. Условные математические ожидания, условные распределения в случае дискретных и абсолютно непрерывных случайных величин. Свойства условных математических ожиданий.
2. Точечные оценки. Несмещенные оценки, их свойства, примеры. Состоятельные оценки, их свойства, примеры.