Математические основы теории вероятностей

В.В.Ульянов

Осенний семестр, экзаменационные вопросы

1. Классы множеств. Полуалгебры, алгебры, сигма-алгебры, моно-тонные классы. Их свойства. Соотношения между классами. При-меры. Теорема о равенстве монотонного класса и сигма-кольца, порожденных одним и тем же кольцом.

2. Определение меры на полуалгебре. Продолжение меры с

полуалгебры на алгебру, ею порожденную. Свойства меры на

алгебре.

1. Внешние меры, полные меры. Множества, измеримые относи-тельно внешней меры, образуют сигма-кольцо. Ограничение внешней меры на класс измеримых множеств есть полная мера.

2. Внешняя мера, отвечающая мере на алгебре. Измеримость отно-сительно внешней меры множеств из сигма-кольца.

3. Продолжение меры с алгебры на порожденную ею сигма-алгебру, существенность условия о сигма-конечности меры для единст-венности продолжения. Критерий измеримости множества.

4. Измеримые оболочки. Пополнение меры на сигма-алгебре.

5. Мера Лебега на прямой. Борелевские и лебеговские множества на прямой. Характеризация меры Лебега как меры, инвариантной относительно сдвигов.

6. Измеримые пространтсва и функции. Свойства измеримых функций. Сходимость почти всюду и по мере, почти равномерная сходимость. Связь между видами сходимости. Теорема Егорова.

7. Теорема о приближении измеримых функций простыми. Внеш-ний интеграл и его свойства. Лемма Фату.

8. Интегрируемые функции, их свойства. Примеры. Предельный переход под знаком интеграла, теорема Лебега. Интегрируемость по Лебегу и по Риману.

9. Пространства L ^p и L^p . Неравенства Гельдера и Минковского.

10. Пространства L ^p и L^p . Их полнота.

11. Действительные меры. Разложение Жордана-Хана.

12. Теорема Радона-Никодима.