Экзаменационные вопросы по линейной алгебре II семестр

Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Экзаменационные вопросы, II семестр

1. Линейное пространство над произвольным полем. Ранг и база системы векторов.

2. Изоморфизм линейных пространств.

3. Сумма и пересечение линейных пространств.

4. Прямая сумма линейных пространств.

5. Евклидово и унитарное пространство. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.

6. Скалярное произведение в ортонормированном базисе. Существование ортонормированного базиса.

7. Изометрия.

8. Матрица Грамма. Критерий линейной зависимости.

9. Ортогональное дополнение. Ортогональная сумма подпространств. Расстояние от вектора до подпространства.

10. Ортонормированный базис и унитарные (ортогональные) матрицы.

11. Процесс ортогонализации Грама-Шмидта. QR-разложение матрицы.

12. Линейное аффинное многообразие в линейном пространстве. Гиперплоскости в евклидовом и унитарном пространстве.

13. Линейные операторы. Матрица линейного оператора.

14. Матрица линейного оператора при переходе к другому базису. Эквивалентность и подобие матриц.

15. Линейное пространство линейных операторов и матриц.

16. Произведение линейных операторов и его матрица.

17. Ядро и образ линейного оператора. Каноническая пара базисов.

18. Линейные функционалы. Сопряжённое пространство. Линейные функционалы и гиперплоскости.

19. Обратный оператор. Критерии обратимости.

20. Собственные значения и собственные векторы. Операторы простой структуры и диагонализуемые матрицы.

21. Характеристический многочлен линейного оператора. Условие существования собственных значений.

22. Собственное подпространство. Геометрическая и алгебраическая кратности собственных значений.

23. Инвариантные подпространства. Сужение оператора.

24. Треугольная форма матрицы линейного оператора. Теорема Шура.

25. Сдвиг оператора, нильпотентность и обратимость его сужений.

26. Корневые подпространства. Расщепление линейного пространства в прямую сумму корневых подпространств.

27. Жорданов базис и жорданова матрица линейного оператора в комплексном пространстве.

28. Критерий подобия матриц.

29. Теорема Гамильтона-Кели. Минимальный многочлен.

30. Инвариантные подпространства минимальной размерности.

31. Вещественный аналог жордановой формы.

32. Сопряжённый оператор. Существование и единственность. Матрица сопряжённого оператора.

33. Нормальный оператор и нормальная матрица.

34. Блочно-диагональная форма вещественной нормальной матрицы.

35. Эрмитовы операторы и эрмитовы матрицы. Эрмитово разложение линейного оператора.

36. Симметрические операторы и симметрические матрицы.

37. Унитарные операторы и унитарные матрицы.

38. Блочно-диагональная форма ортогональной матрицы.

39. Знакоопределённые операторы и матрицы. Квадратный корень из оператора.

40. Сингулярные числа и сингулярные векторы. Полярное разложение оператора (матрицы).

41. Ортогональные дополнения ядра и образа линейного оператора. Теорема и альтернатива Фредгольма.

42. Билинейные и квадратичные формы. Приведение к каноническому виду. Конгруэнтность и эрмитова конгруэнтность.

43. Закон инерции квадратичных форм.

44. Приведение квадратичной формы к главным осям.

45. Одновременное приведение к каноническому виду пары квадратичных форм.

46. Положительно определённые квадратичные формы. Критерий Сильвестра.

47. Общий вид скалярного произведения в конечномерном евклидовом и унитарном пространствах.

48. Гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве. Приведённые уравнения.

49. Нормированное пространство. Нормы Гёльдера.

50. Длина вектора. Тождество параллелограмма и критерий евклидовости нормы.

51. Эквивалентности норм в конечномерном пространстве.

52. Задача о наилучшем приближении в конечномерном нормированном пространстве.

53. Линейный оператор в нормированных пространствах. Непрерывность и ограниченности. Норма линейного оператора.

54. Матричные нормы. Унитарно инвариантные нормы.

55. Сингулярное разложение матрицы и обобщённое решение.

56. Вариационные (экстремальные) свойства собственных значений самосопряжённого оператора (матрицы).

57. Вариационные (экстремальные) свойства сингулярных чисел.

58. Соотношения разделения собственных значений и сингулярных чисел матриц и подматриц.