Несколько решённых билетов, страница 3

Первая формула среднего значения

Пусть каждая из функций f(x) и g(x) интегрируема на [a,b] Тогда найдется число m <= u <= M и такое что справедлива формула

А если f(x) непрерывна то u = f(ξ). Кси из того же сегмента.

Док – во.

m<= f(x) <= M, пусть g >= 0; умножаем на g(x) -> mg(x)<= f(x)g(x) <= Mg(x) – интегрируем всё это дело и получаем два случая – интеграл от g(x) больше нуля или равен 0. Если равен то средний интеграл тоже 0 и можно выбрать любое u. Если не равно то делим на интеграл от g(x) получаем что m <= {интеграл от f(x)g(x) деленный на интеграл от g(x)} <= M – среднюю шнягу и берем за u.

Следствие – если g(x) = 1 то интеграл выходит равным u(b-a) – а если f(x) непрерывна то ваще клёво!

Вторая формула среднего значения. (Тихомиров её не доказывал нам и я не буду )

Пусть f(x) интегрируема, а g(x) монотонна на сегменте [a,b]. Тогда на этом сегменте найдется кси такая что

8. Основная формула интегрального исчисления. Формулы замены переменной и интегрирования по частям.

Теорема. Если f(t) – интегрируема на [a,b] и с лежит на этом отрезке, то F(x) = – непрерывна.

Док-во. Пусть ∆F(x) = F(x+∆x) – F(x) = = {теорема о среднем} = u∆x – разностная форма непрерывности функции.

Теорема. Пусть f(x) интегрируема на [a,b] и непрерывна в т. х из [a,b]. Тогда f(x) дифференцируема в т. х и F(x)’ = f(x).

Доказательство – смотрим ∆F(x)/∆x =( F(x+∆x) – F(x) )/ ∆x – получаем из прошлого доказательства и теоремы о среднем (u = f(ξ), кси из отрезка [x,x+∆x]) – получаем что это равно f(ξ) – при стремлении ∆x к нулю, это стремится к f(x)! (доказательство обработано мной для лучшего понимания).

Теорема (формула Ньютона – Лейбница).

Если F(x) = , а Ф(х) – любая другая первообразная f(x), то F(x) – Ф(х) = С, т.е. Ф(x) = + С – по пред. теореме. Подставим в Ф сначала a, потом b и найдем разность. Константы сократятся и получаем

Замена переменной.

Пусть x = g(t) имеет непрерывную производную на [m,M] и min g(t) = a, max g(t) = b, причем g(m) = a, g(M) = b тогда при условии непрерывности f(x) на [a,b].

Док-во.

Пусть Ф(х) – некоторая первообразная f(x), функции Ф(х) и x = g(t) дифференцируемы на [a,b] и [m,M] соответственно. Поэтому d/dt Ф(g(t)) = Ф’(g(t))g’(t).

Заметим, что производная Ф’(g(t)) = Ф’(x), x = g(t), Ф’(x) = f(x)

В итоге, d/dt Ф(g(t)) = f(g(t))g’(t). Таким образом, функция Ф(g(t)) является первообразной для f(g(t))g’(t). И = Ф(g(M)) – Ф(g(m)) = Ф(b) – Ф(a) =

Интегрирование по частям.

Пусть функции f(x) и g(x) имеют непрерывные производные на сегменте [a,b] тогда

Доказательство – находим производную произведения функций, берем интегралы от обоих частей.