Тыртыш v.s. Кима - теормин

Теоретический минимум

(В большинстве случаев используются определения по лекциям Е.Е.Тыртышникова)

Небольшое предисловие. Точные формулировки многих определений дать достаточно трудно. Дело в том, что Е.Е.Тыртышников и Г.Д.Ким (в дальнейшем просто Кима) дают различные определения одним и тем же объектам. Например, у Е.Е.Тыртышникова все определения даются через матрицы, в то время как у Кимы - через линейные операторы. Рассмотрим определение оператора простой структуры. По Киме это такой оператор, для которого существует базис из его собственных векторов. Е.Е.Тыртышников же даёт определение матрицы простой структуры, как матрицы, подобной диагональной, а существование линейно независимой системы собственных векторов есть всего-лишь критерий. Поэтому, введем в этом теоретическом минимуме следующие обозначения:

1) Определение будет обозначено красным, если Е.Е.Тыртышников в своих лекциях не даёт такого определения. Вообще говоря, давать такой вопрос на экзамене неэтично.

2) Определение будет обозначено фиолетовым, если у Е.Е.Тыртышникова есть похожее определение. Тогда будут написаны обе формулировки (и по Киме и по Е.Е.Тыртышникову).

3) Формулировка (или её часть) будет написана красным текстом, если эта формулировка даётся из учебника Кимы.

А теперь, сами определения:

0. Критерий вопроса для заваливания студентов.

Вопрос является вопросом для заваливания студентов тогда и только тогда, когда он обозначен либо красным, либо фиолетовым цветом.

1. Альтернатива Фредгольма.

1. Базис и размерность линейного пространства.

Базисом в конечномерном пространстве V называется любая линейно независимая система векторов, для которой V является их линейной оболочкой. Любые два базиса в V содержат одинаковое число векторов. Число векторов в базисе называется размерностью пространства V и обозначается dimV.

1. Бесконечная норма Гёльдера для вектора .

Пусть x = [x₁, x₂, ... , x_n]^T ∈ Cⁿ. При p ≥ 1 положим

Данная величина является нормой и называется p-нормой или нормой Гёльдера. При фиксированном x величина ||x||_p при p -> ∞ имеет предел, равный max|x_i|. Поэтому

1. Выражение, связывающее скалярное произведение векторов в унитарном пространстве через их координаты в ортонормированном базисе.

В евклидовом (унитарном) пространстве скалярное произведение векторов х = Σ_iⁿ_{= 1} x_i e_i, y = Σ_iⁿ_{= 1} y_i e_i, заданных своими координатами в базисе e, вычисляется по правилу (х, у) = Σ_iⁿ_{= 1} x_i y̅_i тогда и только тогда, когда е -ортонормированный базис.

1. Геометрическая и алгебраическая кратности собственного значения линейного оператора.

Кратность собственного значения как корня характеристического многочлена называется его алгебраической кратностью, а размерность порождаемого им собственного подпространства - геометрической кратностью.

1. Дополнительное подпространство (определение).

1. Евклидова норма матрицы .

1. Закон инерции квадратичных форм.

1. Изометрия.

Евклидовы (унитарные) пространства V₁, V₂ называются изоморфными, если существует биективное отображение φ : V₁ -> V₂, которое сохраняет законы композиции и скалярное произведение, т.е. если:

1) ф(x + y) = ф(х) + ф(у), ∀х,y ∈ V₁

2) ф(ах) = аф(х), ∀x ∈ V₁, ∀a ∈ R(C)

3) (ф(х), ф(у)) = (х, у), ∀х,y ∈ V₁

1. Изоморфизм линейных пространств.

1. Инвариантное подпространство.

Пусть L - подпространство в V. Если для линейного оператора, действующего из V в V для всех векторов из L Ax ∈ L, то L называется инвариантным пространством относительно оператора А.

1. Индуцированная норма.

По материалам Википедии:

Любое нормированное пространство можно рассматривать как метрическое, если ввести в нём метрику следующим образом

p(x, y) = ||x - y||

Такую метрику называют метрикой, индуцированной нормой.

1. Канонический вид матрицы ортогонального оператора.

Для любой ортогональной матрицы существует вещественный ортонормированный базис, в котором она является произведением вещественных матриц отражения и вещественных матриц вращения.

1. Квадратичная форма в вещественном пространстве.

1. Корневой вектор линейного оператора.

Пусть λ - собственное значение оператора А. Вектор x ∈ называется корневым вектором оператора А, отвечающим собственному значению λ, если (А - λI)^kх = 0 при некотором k ∈ N. Высотой корневого вектора х называется наименьшее k, обладающее указанным свойством.

1. Критерий евклидовости нормы.

Норма порождается каким-то скалярным произведением тогда и только тогда, когда для нее выполнено тождество параллелограмма

1. Критерий изометрии евклидовых пространств.

Два евклидовых (унитарных) пространства изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.

1. Критерий линейной зависимости системы векторов в терминах матрицы Грама.

1. Критерий нильпотентности линейного оператора.

1. Критерий нормальности оператора.

Оператор, действующий в унитарном пространстве, нормален тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора.

1. Критерий подобия матриц.

1. Критерий простой структуры оператора.

Матрицы, подобные диагональным, называются матрицами простой структуры.

Матрица А порядка n диагонализируема тогда и только тогда, когда она обладает линейно независимой системой n собственных векторов.

Линейный оператор А ∈ L(V,V) имеет простую структуру тогда и только тогда, когда в пространстве V существует базис, в котором он имеет диагональную матрице.

1. Критерий Сильвестра.

1. Линейное аффинное многообразие.

Для M = x + W вектор х называется вектором сдвига, а подпространство W - направляющим подпространством.

1. Линейное пространство линейных операторов, его размерность.

А это определение попытайтесь дать самостоятельно.

1. Матрица Грама системы векторов.

Матрица G из скалярных произведений системы векторов называется её матрицей Грама.

(Обратим внимание, что в этом определении G_ij = (v_j, v_i), поэтому в некоторых источниках матрицей грамма называют G^T. В вещественном случае эти матрицы, очевидно, совпадают.)

1. Матрица линейного оператора в базисе .

Рассуждение по аналогии с парой базисов, только везде заменить f на e:

1. Невырожденный линейный оператор.

Оператор А ∈ L(V, V) называется невырожденным, если его ядро состоит только из нулевого вектора.

1. Неравенство Гёльдера.

Пусть положительные числа p и q таковы, что 1/p + 1/q = 1. Тогда для любых комплексных чисел x₁, x₂, ... , x_n и y₁, y₂, ... , y_n справедливо неравенство

Данное неравенство называют неравенством Гёльдера.

1. Неравенство Коши-Буняковского-Шварца.

Для любых векторов ∀ x, y ∈ V

причем равенство достигается тогда и только тогда, когда х и у линейно зависимы.

1. Неравенство треугольника в евклидовом и унитарном пространстве.

В евклидовом (унитарном) пространстве для любых векторов x, y имеют место неравенства

||x| - |y|| ≤ |x + y| ≤ |x| + |y|

1. Нильпотентный оператор.

1. Норма вектора.

Пусть V - линейное пространство над полем P, где P = R или P = C. Каждому вектору х ∈ V припишем вещественное число ||x|| так, чтобы выполнялись следующие свойства:

(1) ||x|| ≥ 0 ∀, ||x|| = 0 ⇔ x = 0

(2) ||ax|| = |a| ||x|| ∀ x ∈ V, ∀ a ∈ P

(3) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| ∀ x, y ∈ V

Число ||x|| называется нормой вектора х. Линейное пространство V, снабженное нормой называется нормированным пространством.

1. Образ и ядро линейного оператора.

1. Общий вид квадратичной формы в вещественном пространстве.

A(x, x) = x^T_eA_ex_e, A^T_e=A_e - общий вид квадратичной формы в базисе е.

1. Общий вид линейного функционала в конечномерном пространстве.

Определение не найдено!

1. Общий вид скалярного произведения в вещественном пространстве.

Пусть G - произвольная симметрическая вещественно положительно определённая матрица. Тогда, функция f(a, b) = b^TGa, a, b ∈ Rⁿ задаёт скалярное произведение на Rⁿ и эта функция задаёт общий вид скалярного произведения в вещественном пространстве.

1. Оператор простой структуры.

Матрицы, подобные диагональным, называются матрицами простой структуры.

Линейный оператор А ∈ L(V,V) называется оператором простой структуры, если в пространстве V существует базис из собственных векторов оператора А.

1. Определение суммы линейных подпространств.

1. Ортогональное дополнение к линейному подпространству.

Пусть V - пространство со скалярным произведением и L - произвольное подпространство пространства V. Множество М всех векторов из V, каждый из которых ортогонален всем векторам из пространства L, является подпространством в V и называется ортогональным дополнением к L в пространстве V. Обозначение:

1. Подчиненная норма линейного оператора.