практикум_механика (1) (Физический практикум по механике (лабник)), страница 6

Из формулы (5) видно, что не зависит ни от массы маятника, ни от амплитуды колебаний. Колебания, период которых не зависит от амплитуды, называются изохронными.

Вышеописанными свойствами обладает только идеализированный математический маятник при малых углах отклонения .

Если экспериментальная проверка показывает, что выполняются условия, при которых маятник, используемый в лабораторной работе, можно считать математическим, то из формулы (5) легко получить простое выражение для определения величины ускорения силы тяжести

Условие применимости метода математического маятника

Полученные соотношения являются приближенными. Для их уточнения необходим учет ряда факторов, влияющих на движение реального физического маятника.

1. Учет размеров и формы тела

Физическим маятником называется произвольно взятое твердое тело, которое колеблется вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящей через центр тяжести тела. Простым примером такого маятника является шарик произвольного радиуса , подвешенный на нерастяжимой нити длины (рис.2).

Условие нерастяжимости нити подвеса мы вынуждены наложить, чтобы упростить характер его колебаний, чтобы пренебречь деформацией длины нити и последствиями этой деформации.

Теория позволяет вывести уравнение колебательного движения физического маятника, используя разные методы. Так, мы можем воспользоваться законом сохранения механической энергии, вторым законом Ньютона, как мы это сделали в предыдущем разделе, или основным законом динамики вращательного движения. В последнем случае уравнение движения имеет вид

где – момент инерции маятника, – его угловое ускорение, – сумма моментов всех сил, действующих на маятник.

Рисунок 2.

И з рис.2 видно, что в положении равновесия как сила тяжести , так и сила натяжения нити лежат на одной прямой, проходящей через центр вращения и, следовательно, моменты этих сил относительно этой точки равны нулю. При отклонении маятника на некоторый малый угол момент силы натяжения , которая всегда направлена вдоль нити, также остается равным нулю. Однако плечо силы тяжести отлично от нуля и ее момент легко найти по формуле

Здесь – расстояние от точки подвеса до центра масс шарика. Замена справедлива для малых углов. Подставив выражение (8) в (7), получим

Здесь минус имеет тот же смысл, что и в выражении (2). Сделав замену и введя обозначение , уравнение (9) можно привести к виду

совпадающему по форме с уравнением (3), если сделать в нем замену .

Решение уравнения (10) имеет вид, подобный (4)

и описывает собственные колебания физического маятника с периодом

Момент инерции маятника, изображенного на рис.2, можно найти по теореме Штейнера

Здесь – момент инерции шарика, относительно оси, проходящей через его центр масс, – момент инерции нити, которым можно пренебречь, считая нить невесомой.

Если выполняется соотношение , то предыдущее выражение примет вид

Подставив его в (12), получим формулу, совпадающую с выражением для периода собственных колебаний математического маятника.

2. Учет влияния потерь энергии маятником

Сопротивление воздуха движению маятника и ряд других факторов вызывают постепенное уменьшение амплитуды колебаний – их затухание. Это приводит к необходимости включить в правую часть уравнения движения (7) момента сил сопротивления. Будем считать эти силы пропорциональными скорости движения . Учитывая связь между угловой и линейной скоростями, можно для системы, приведенной на рис.2, записать равенство

Сила трения для шарика радиуса по формуле Стокса равна

где – вязкость воздуха, а минус показывает, что сила трения всегда противодействует движению тела.

Момент силы трения найдем по формуле

где – коэффициент пропорциональности, зависящий от формы и размеров тела и свойств среды, в которой оно движется.

Добавив момент сил трения (14) в правую часть уравнения (9) и введя обозначение , получим уравнение свободных колебаний маятника в виде

где – коэффициент затухания колебаний. Решение этого уравнения отличается от (11) тем, что амплитуда уменьшается во времени по экспоненциальному закону, а частота собственных колебаний меньше частоты собственных колебаний системы

В этих условиях период свободных колебаний можно найти по формуле

где по-прежнему определяется выражением (12).

Для математического маятника, когда в соответствии с (13) , формулу (16) можно переписать в виде

так как здесь для можно пользоваться выражением (5).

Анализируя (17) можно сказать, что при период . Это значит, что маятник не будет совершать колебаний. Он бесконечно медленно асимптотически вернется из отклоненного положения в положение равновесия. Такое колебание называется апериодическим.

3. Учет ангармонизма колебаний

При больших амплитудах колебаний приближение (8) может оказаться недостаточным, и надо будет учитывать следующий член разложения в формуле Тейлора

Уравнение (10) при этом примет вид

Будем искать решение уравнения (18) в виде

где – малая «поправка» к гармоническим колебаниям частоты . Подставляя (19) в (18), получим

В правой части выражения (20) мы пренебрегли малыми членами, содержащими . Из тригонометрии

преобразуем правую часть выражения (20)

Анализ уравнения (21) показывает, что малая поправка описывает колебаний с частотой (третья гармоника). Кроме того, основная частота также изменяется. Выражение для нее можно найти, приравняв нулю первую квадратную скобку в (21)

Таким образом, при увеличении амплитуды, колебания маятника перестают быть гармоническими и изохронными, их период зависит от амплитуды колебаний по закону

где не учтены члены порядка .

Оценка точности измерений метода

Анализ формулы (6) показывает, что относительная ошибка измерения величины определяется формулой

Погрешность определения числа связаны с точностью округления. Измерение длины нити из-за малой точности производится один раз и определяется ценой деления шкалы, равной в нашем случае 1мм.

Погрешность измерения периода колебаний математического маятника определяется отношением погрешности измерения секундомером времени колебаний, к числу колебаний

Она содержит случайную, приборную ошибки и ошибку округления.

В соответствии с принципом равной точности выбором числа вклад величины в ошибку можно сделать сравнимым (или несколько меньшим) с вкладом второго члена выражения (23), который и ограничивает точность метода.

Описание экспериментальной установки и методики измерений

Маятник, применяемый в лабораторной работе, является моделью математического маятника и представляет собой тяжелый шарик небольшого радиуса, подвешенный на длинной двойной нити (бифилярно) для того, чтобы его колебания происходили строго в одной плоскости. Конструктивное оформление установки показано на рис.3. На массивном основании укреплена вертикальная цилиндрическая стойка 1, имеющая миллиметровую шкалу 2. На стойке закреплены две горизонтальные штанги 3 и 4. Штанга 3 может поворачиваться вокруг стойки 1 на и фиксироваться в выбранном положении винтом 6. Эта штанга предназначена для крепления нити подвеса маятника 5 и имеет механизм изменения длины нити подвеса, который представляет собой катушку для наматывания на нее нити подвеса. Положение катушки фиксируется винтом 7. На штанге 3 также закреплена шкала 8 отсчета больших углов отклонения маятника.

Штанга 4 может перемещаться вдоль стойки 1 и поворачиваться вокруг нее. Ее выбранное положение фиксируется винтом 9. На штанге 4 размещены лампочка 10 и фотодетектор 11, предназначенные для отсчета числа колебаний маятника и времени этих колебаний, которые высвечиваются на

Рисунок 3.

цифровом индикаторе электронного блока 13. Отсчет длины нити подвеса производят по шкале 2 при совмещении черных рисок на шарике с рисками, нанесенными на обойме, в которую вмонтированы лампочка и фотодетектор. Шкала 12 предназначена для точного отсчета малых углов отклонения маятника от положения равновесия.

Прежде, чем приступать к измерениям ускорения силы тяжести, необходимо убедиться в том, что маятник действительно является математическим, а его колебания изохронными, то есть, что мы имеем право пользоваться формулой (6). Необходимо убедиться, что в эксперименте выполняются все условия применимости этой формулы. Это значит, что затухание колебаний за счет сопротивления воздуха должно быть пренебрежимо мало. Нужно найти и подвергнуть анализу экспериментальную зависимость периода колебаний маятника от его массы , угла отклонения и длины нити подвеса