практикум_механика (1) (Физический практикум по механике (лабник)), страница 2

3.2. ЗАПИСЬ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ РЕЗУЛЬТАТТОВ

Суммарный эффект всех типов погрешностей подчиняется статистическим законам. Вот почему нельзя произвести абсолютно точные измерения, и мы вынуждены в окончательной записи указать некоторый интервал измеряемой величины , в пределах которго с заданной вероятностью находится ее истинное значение

где – среднее арифметическое измеренных значений величины ; – полная погрешность измерений (при выбранной вероятности ); – доверительная вероятность, с которой погрешность измерения находится в пределах значений . Интервал называется доверительным интервалом. Мы считаем, что в пределах этого интервала находится истинное значение измеренной величины с заданной вероятностью . Доверительный интервал всегда должен указываться при окончательной записи результата (в том числе и на графиках). О том, какие значения может принимать доверительная вероятность, будет подробнее описано в части 3.3.

3.2. ОКРУГЛЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ РАСЧЕТОВ

При округлении полученных результатов надо пользоваться стандартными правилами округления: если цифра, следующая за последней оставляемой значащей цифрой, меньше 5, то последняя значащая цифра сохраняется; если больше либо равна 5, то последнюю из оставляемых значащих цифр увеличивают на единицу. Обычно абсолютная погрешность измерения определяется числом с количеством значащих цифр не более двух (например, если при измерении сопротивления проводника был получен результат с погрешностью , то результат записывают в виде . Однако при измерении некоторых величин значащих цифр может быть больше. Еще один пример. Запись ответа, представленная в виде см, не является корректной, так как если абсолютная ошибка находится на уровне 0,4 см, то последующие цифры не несут никакой полезной информации.

И далее, если абсолютная ошибка составляет 0,4 см, то в представленном значении самой расчетной величины последние две цифры, соответствующие сотым и тысячным долям сантиметра, не информативны. Правильная форма ответа: см. Возможные записи результатов измерения представлены в таблице 1.

Таблица 1.

3.3. ПРАВИЛА ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ПРЯМЫХ ИЗМЕРЕНИЙ.

1) Определение случайной погрешности .

Величину случайной погрешности можно оценить следующим образом. Если в результате измерений некоторой величины найдено ее значений , , … , то вся эта совокупность значений называется выборкой объема , а истинное значение измеряемой величины по теории вероятности лежит в окрестности среднего арифметического совокупности всех значений

Отклонение каждого отдельного измерения от этого среднего, то есть величины

, , …,

носят названия абсолютных ошибок отдельных измерений. Они могут иметь различную величину и знак. Опыт показывает, что при увеличении числа измерений число положительных случайных ошибок равно числу отрицательных, а большие по абсолютной величине ошибки встречаются реже, чем малые. При этом сумма всех положительных ошибок равна сумме отрицательных.

Среднее арифметическое модулей отдельных случайных ошибок называется средней абсолютной арифметической ошибкой результата случайных измерений:

При малом числе измерений ( ) можно считать

Суммирование проведено по модулю, так как нас интересует величина ошибки, а не ее знак. Кроме того, алгебраическая сумма ошибок может оказаться равной нулю, хотя ошибки имели место.

При многократных измерениях чаще используется понятие средней квадратичной погрешности измерений. Пусть в результате серии прямых независимых измерений физической величины получили выборку (некоторый набор) из значений: , , …, . В качестве оценки случайной погрешности среднего значения принимается выборочное стандартное отклонение среднего арифметического или средняя квадратичная погрешность данной выборки (для результата серии измерений). Она определяется следующим соотношением

Далее вычисляется доверительный интервал для случайной погрешности среднего арифметического значения :

где – коэффициент Стьюдента для выбранного значения доверительной вероятности . Значение коэффициента Стьюдента при различных значениях доверительной вероятности и объема выборки находятся из Таблицы 2. Смысл доверительного интервала заключается в следующем: можно утверждать, что истинное значение физической величины а лежит в интервале с заданной вероятностью Р. Чем больше доверительная вероятность, тем больше значение коэффициента Стьюдента , а следовательно, и доверительного интервала . Отметим, что вероятность Р выбирается самостоятельно и может принимать любые значения от нуля до единицы, но обычно принято выбирать .

Вычисление доверительного интервала следует проводить только в том случае, когда конечной целью проведения измерений является оценивание прямо измеряемой величины. Если же прямые измерения проводятся лишь с целью дальнейшего использования результатов измерений для оценивания какой-либо косвенно измеряемой величины, то и доверительный интервал надо будет вычислять только для этой косвенно измеряемой величины (3.4).

Из формулы (10) можно получить выражение выборочного стандартного отклонения для результата одного измерения (среднюю квадратичную погрешность для отдельного измерения):

,

где

- выборочное стандартное отклонение для результата отдельного измерения. При увеличении числа измерений или объема выборки n стремится к константе, называемой стандартным отклонением (или средней квадратичной погрешностью измерения) и обычно обозначаемой  и определяемой как . Величина является оценкой , полученной по выборке объема n, поэтому в название величины вводится термин «выборочное». Квадрат среднеквадратической погрешности называется дисперсией и обозначается . Случайная погрешность оценки истинного значения стремится к нулю по мере увеличения числа измерений, и ее можно сделать сколь угодно малой.

По формуле (10) находят значение случайной ошибки измерения величины а, если объем выборки . Если объем выборки , то значение определяется по формуле:

где – коэффициент, выбираемый из Таблицы 3.

2) Определение ошибки округления .

Погрешность округления некоторой величины определяется по формуле:

где Р – доверительная вероятность, h – интервал округления, который чаще всего выбирается равным цене минимального деления шкалы прибора или цене последнего знака округляемой величины. Например, для величины, равной 134,247  134,25 h = 0,01.

Так же систематические ошибки округления возникают в целом ряде случаев, когда мы используем иррациональные числа, такие как , и т.д. Мы вынуждены округлять их значения до требуемого числа знаков, внося тем самым погрешность в вычисления. Абсолютную погрешность таких величин считают равной от их последнего знака. Например, записывая , мы считаем, что .

3) Определение приборной ошибки .

Абсолютная систематическая погрешность прибора находится по формуле:

где , – коэффициент, выбираемый из Таблицы 3 для заданной вероятности Р, К – класс точности, указанный на шкале прибора, – предельное значение величины , измеряемой на этой шкале прибора.

Таблица 2.

Значения коэффициента Стьюдента при различных значениях доверительной вероятности и объема выборки .

Таблица 3.