ТРаздаточный материал (восстановленный) (ОАПр.part4)

Взято из

nastran_2012_training_120_coursenotes.pdf

SECTION 2 INTRODUCTION TO THE FINITE ELEMENT METHOD

Методы решения инженерных задач

• Как будет показано ниже, метод конечных элементов является одним из наиболее используемых методов решения инженерных задач

Методы решения инженерных задач

• Классические аналитические методы:

• Решения в замкнутой форме могут быть получены для ограниченного числа простейших задач, таких как, например, изгиб балок и кручение призматических брусьев;

• Приближенные аналитические методы, использующие разложения в ряды искомого решения дифференциальных уравнений, применяются для анализа многих сложных конструкций, таких как пластины и оболочки;

• Классические методы могут быть использованы только при исследовании конструкций относительно простых геометрии, вида нагружения и граничных условий.

• Численные методы:

• Метод граничных элементов

• Преобразование дифференциального уравнения задачи к интегральным уравнениям на границе рассматриваемой области. При этом только граничная поверхность разбивается на подобласти

• Метод конечных разностей

• Дифференциальные уравнения задачи и граничные условия записываются соответствующими алгебраическими уравнениями в конечных разностях

– Метод конечных элементов (МКЭ)

• Позволяет решать широкий круг сложных задач для конструкций с произвольной геометрией при различных видах нагружения и граничных условиях;

• Это универсальный инструмент проектировщиков и конструкторов для анализа конструкций, находящий все возрастающее применение в различных областях науки и техники;

• Метод Конечных Элементов известен в литературе как Матричный Метод Структурного анализа, поскольку для решения систем алгебраических уравнений используются формулировки матричной алгебры.

Идея метода конечных элементов

• Метод Конечных Элементов (МКЭ) это приближенный численный метод исследования поведения сложных конструкций. Метод основан на представлении конструкции в виде совокупности малых и простых подобластей.

• Эти малые подобласти конструкции называются конечными элементами. Все элементы соединяются между собой в узловых точках, называемых узлами.

• Совокупность или ансамбль элементов и узлов называют конечно-элементной моделью конструкции. На рисунке в качестве примера показана конечно-элементная модель поршня с днищем.

Простейшая конечно-элементная модель головки поршня

SAMPLE FINITE ELEMENT MODEL

конечные элементы

• Конечные элементы имеют формы, с помощью которых относительно просто описать геометрию конструкции и провести ее расчет. Существуют три основных типа конечных элементов beams, plates и solids.

Одномерные конечные элементы (1D)

• Одномерные (1D) beam элементы используют для моделирования протяженных стержневых элементов конструкций, таких как, например, вышка ферменного типа.

Двумерные конечные элементы (2D)

• Двумерные плоские элементы (2D) используются при

моделировании тонкостенных элементов конструкций, таких как оболочки фюзеляжа самолета, топливные отсеки ракет, кузова автомобиля и т.п.

Трехмерные конечные элементы (3D)

THREE DIMENSIONAL ELEMENTS

• Трехмерные (3D) solid элементы используют при моделировании трехмерных тел или толстостенных конструкций таких как, например, головка поршня, показанного на рисунке:

Построение конечно-элементной модели

• В Методе Конечных Элементов континуальная конструкция представляется совокупностью конечного числа подобластей -элементов.

• При увеличении количества элементов, на которые разбивается конструкция (что соответствует уменьшению размеров элементов), получаемые результаты расчета стремятся к точному решению, но при этом время расчета также возрастает.

• Пре-пост-процессор Patran предоставляет пользователю многочисленные инструменты для построения конечно-элементной модели конструкции с учетом сбалансированного соотношения между точностью вычислений и размерностью модели.

Сущность МКЭ и этапы его практической реализации

• Основные особенности МКЭ

• Одна из задач в МКЭ является задача дискретизация рассматриваемой области, заключающаяся в ее аппроксимации ансамблем элементов простых форм;

• При этом связь каждого элемента с окружающими его элементами осуществляется по общим для смежных элементов узлам.

• Каждый узел дискретной модели может иметь шесть независимых движений: три линейных перемещения (translations) и три вращательных движения (rotations). Эти движения называются степенями свободы узла (the degrees of freedom (DOF)).

• Условие равновесия типичного конечного элемента, выделенного из ансамбля элементов дискретной модели, в матричной форме записи имеет вид

[ k ]_e { u }_e = { f }_e , где

[ k ]_e – матрица жесткости конечного элемента, учитывающая геометрию области, свойства материала и свойства используемого конечного элемента;

{ f }_e – вектор приведенных к узлам сил, действующих на элемент;

{ u }_e – неизвестный вектор узловых перемещений элемента, характеризующий перемещения узлов при воздействии на элемент приложенных сил.

 S- 16

[ k ]_e { u }_e = { f }_e

Условие равновесия конечного элемента (е)

• Матрицы жесткости всех конечных элементов дискретной модели объединяются в глобальную матрицу жесткости системы. Векторы узловых сил также объединяются в глобальный вектор узловых сил системы. В результате может быть получено матричное уравнение равновесия дискретной модели конструкции:

[ K ] { u } = { F }

17

[ k ]_e { u }_e = { f }_e [ K ] { u } = { F }

Elemental Equation Global Equation

• Граничные условия (Boundary Condition)

NAS120, Section 2, July 2012

C• Следующим необходимым этапом при решении задачи по МКЭ является задание граничных условий для рассматриваемой модели( модель закрепления). Математически это выражается в исключении из уравнений системы строк и столбцов матрицы жесткости, соответствующих закрепленным степеням свободы.

[ K ] { u } = { F }

Global Matrix Equation

with boundary condition

applied

Последовательность расчета по мкэ -6

• Finally, the global matrix equation is solved to determine the unknown nodal displacements.

• Element strains and stresses are then computed from the nodal displacements.AS120, Section 2, July 2012

Deformation Plot Stress Fringe Plot

• В итоге после введения граничных условий уравнение равновесия дискретной модели может быть разрешено относительно неизвестных узловых перемещений.

• По найденным узловым перемещениям могут быть вычислены компоненты тензоров деформаций и напряжений

Последовательность расчета по мкэ -7

• Summary of the finite element method:

Represent continuous structure as a collection of discrete elements connected by nodes

Derive element stiffness matrices from material properties, element properties, and geometry, July 2012

Assemble all element stiffness matrices into a global stiffness matrix [K]

Assemble loads into a global load vector {F}

Apply boundary conditions to constrain the model

Solve the matrix equation [K] {u} = {F} for nodal displacements

Compute strains and stresses from displacement results

Представление континуальной структуры совокупностью дискретных элементов, соединенных в узлах

Формирование матриц жесткости элементов с учетом свойств материала, типа элемента и геометрии

Объединение матриц жесткости элементов в глобальную матрицу жесткости системы [K]

Формирование глобального вектора узловых сил системы дискретных элементов {F}

Задание граничных условий в модели закрепления системы

Решение матричного уравнения [K] {u} = {F} относительно узловых перемещений

Вычисление компонент деформаций и напряжений по найденным значениям узловых перемещений

формулировка матрицы жесткости конечного элемента

FORMULATION OF THE ELEMENT STIFFNESS MATRIX

• A key step in the displacement method is the formulation of the

element stiffness matrix

• Each element in a finite element model is represented by an

element stiffness matrix [K]e

• A single-rod case study is used to demonstrate the element

stiffness matrix formulation for a rod element

Пример: Вывод матрицы жесткости для стержневого элемента

CASE STUDY: ROD ELEMENT STIFFNESS MATRIX

• Рассмотрим упругий стержень постоянного сечения А и длиной L при действии осевой нагрузки

• При этом перемещения u₁ и u₂ есть осевые перемещения только точек начала 1 и конца 2 стержня (далее их будем называть узлами), т.е. узловые перемещения стержня.

• Говорят, что такой стержневой элемент имеет две степени свободы.

Рассмотрим последовательность получения матрицы жесткости такого стержневого элемента по шагам.

• Step 1: Satisfy static equilibrium

• Шаг 1: Уравнение статического равновесия стержня

или

(1)