Копия Выпускная работа Звержховского (Волоконный интерферометр для регистрации акустических воздействий на волокно), страница 5

(4)

Найдем собственные значения матрицы

(5)

(6)

Решим уравнение (7)

Произведем замену , тогда (7) запишется в виде:

(8)

После разложения на множители уравнение (8) можно переписать в виде:

(9)

Уравнение (8) имеет следующие корни:

, .

Матрица W имеет следующие собственные значения:

, .

Система (4) имеет следующие собственные значения:

), (10)

Тогда решение системы в общем виде можно записать:

(11)

Определим соотношения коэффициентов с помощью определения собственных векторов матрицы (12)

Найдем собственные векторы для собственных чисел ).

;

Это эквивалентно уравнению , т.е. собственными векторами может быть любая комбинация трех чисел, в сумме дающая ноль.

Собственные векторы системы:

, , (13)

Определим собственный вектор для

(14)

Для этого приведем матрицу к максимально простому виду:

= = = = =

, (15)

что эквивалентно системе

(16) что эквивалентно условию , т.е. собственный вектор

Тогда решение системы уравнений может быть записано в виде:

при , n=1, 2, 3 (17)

(16) – зависимость амплитуды световой волны в каждом волноводе от длины участка, на котором происходит перетекание мощности между волноводами.

Рис. 1. Граничные условия разветвителя 3 х 3

На входы 2, 3 рассматриваемого разветвителя подается оптический сигнал, имеющий амплитуды B₂, B₃, и разность фаз , на вход 1 сигнал не подается. Переходя к нашей аналогии с системой волноводов, примем что:

, , . Это начальные условия для решения задачи Коши. Подставляем их в (16):

Получаем:

учтем, что , тогда

Решая эту систему находим d, , , :

(18)

Будем считать, что интенсивность световой волны делится поровну между опорным и измерительным плечом, а затухания в них одинаковы. Тогда .

Система решений (17) примет вид:

(19)

Зная решения системы уравнений связанных мод (4), мы можем определить амплитуды (или интенсивности) световых волн в каждом из волноводов при любом z. Перепишем систему для интенсивностей, где - интенсивность света в n – ном волноводе.

(20)

(21)

Так как , получаем:

Учитывая что получим:

(22)

Определим интенсивности на выходах из разветвителя 3 х 3 (т.е. z=L). Система (22) запишется в виде :

Найдем средние значения , k=1, 2, 3. По определению среднее значение функции f(x) на интервале [a, b]

Средние значения и при равны нулю, тогда система для средних выходных интенсивностей примет вид:

(23)

Поскольку в нашей установке используется симметричный разветвитель, т.е. , то

(24)

Подставляя (24) в систему (21), получаем:

Так как , то

(25)

Таким образом, на выходах симметричного разветвителя 3 х 3 регистрируются равные по амплитуде (интенсивности) сигналы, смещенные относительно друг друга на постоянную разность фаз

Приложение 2

С фотоприемников на компьютер приходят сигналы вида:

(*)

Введем замену ,

Так как ,

В случае, если постоянные составляющие сигналов уничтожены, система (*) примет вид:

Проводя те же действия, что и выше получим:

10