lr_02 (Моделирование процессов с использованием системы MATLAB)

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ РАДИОТЕХНИКИ ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ

Лабораторная работа № 2

“Моделирование процессов с использованием системы MATLAB”

рабочее место №1 (вариант 1)

по предмету

ОКП и МРЭС

Выполнил ст. гр. ВРУ-3-02

Проверил

Богаченков А.Н.

2005

Общие сведения

Система MATLAB создана фирмой The MathWorks, Inc. еще в 70-х годах. Версия 6.5 выпущена в 2002 г., к 2004 г. вышел ряд дополнений. Пакет MATLAB (сокращение от MATrix LABoratory — матричная лаборатория) является интерактивной системой для выполнения инженерных и научных расчетов, ориентированных на работу с массивами данных (векторами). Система поддерживает выполнение операций с матрицами, полиномами, решение линейных, нелинейных и дифференциальных уравнений, оптимизацию, интерполяцию, построение графиков, трехмерных фигур и многое другое. Главным расширением системы MATLAB является программный пакет Simulink, служащий для имитационного моделирования устройств, представляемых в виде графических блоков с заданными свойствами. Дополнительные пакеты, поставляемые с системой, позволяют решать задачи оптимизации систем управления, проектирования устройств цифровой обработки сигналов, моделирования аналоговых и цифровых фильтров, коммуникационных устройств, энергетических систем, проведения статистических и финансовых расчетов и др. В настоящее время распространяется пакет MATLAB версии 7.0.

Часть 1

1.1. Расчет резонансной частоты колебательного контура

Известно, что резонансную частоту колебательного контура можно рассчитать по формуле

(1.1)

где – индуктивность катушки [Гн], – емкость конденсатора в [Ф].

Рассчитаем резонансную частоту по примеру в описании лабораторной работы. Для этого вводим значение , значение емкости и формулу пересчета (1.1). Получаем 2.9058e+004 = = 29 кГц.

Рассчитаем резонансную частоту контура с заданными параметрами в соответствии с вариантом. Гн, Ф, получаем 1.5915e+006 = Гц или 1,59 МГц.

1.2. Построение резонансной кривой

Для последовательного резонансного контура показанного на рис. 1.1 с элементами существует следующая зависимость между током и напряжением :

(1.2)

где – вектор круговых частот.

Для построения графика резонансной кривой для контура с параметрами указанными в примере описания лабораторной работы вводим значения:

;

;

;

;

пределы построения графика:

, , шаг выбираем равным 100 Гц;

Далее вводим формулу пересчета круговой частоты из частоты и формулу (1.2). На рис. 1.2 показан график резонансной кривой для контура с параметрами указанными в примере описания лабораторной работы.

Далее строим график резонансной кривой для контура с заданными параметрами в соответствии с вариантом.

Для построения графика резонансной кривой для контура с заданными параметрами вводим значения:

;

;

;

;

пределы построения графика:

, , шаг выбираем равным 100 Гц. Далее вводим формулу пересчета круговой частоты из частоты и формулу (1.2). В MATLAB она выглядит следующим образом:

f=1.55e+6:0.1e3:1.63e+6;

График показан на рис 1.3.

1.3. Операции с матрицами

Задание. Вычислить один из коэффициентов математической модели схемы по выражению:

, где

; .

Размерность и значения матрицы X задать самостоятельно.

В задании необходимо перемножить транспонированные матрицы X и B. При транспонировании k-е строки становятся k-ми столбцами. При перемножении матриц количество столбцов одной матрицы должно быть равным количеству строк другой матрицы. Выполнять операцию сложения можно только над теми матрицами, которые имеют одинаковую размерность. Исходя из этих правил выбираем размерность матрицы X.

Матрица A имеет размерность [3,3], значит в результате перемножения транспонированных матриц X и B должна получиться матрица с размерностью [3,3]. Матрица B имеет размерность [4,3], значит, транспонированная матрица будет иметь размерность [3,4]. Чтобы при перемножении получилась матрица [3,3] необходимо, чтобы транспонированная матрица имела размер [4,3]. Соответственно, матрица X должно иметь размер [3,4].

Зададим значения элементов матрицы X:

Транспонируем матрицу X:

Транспонируем матрицу B:

Перемножим матрицы и :

Чтобы получить конечную матрицу K, полученный результат сложим с матрицей A и далее инвертируем.

Инвертируем полученный выше результат:

В данном примере мы шли к результату шагами, подробно расписывая каждый из них. Однако MATLAB позволяет все вычислить одной строчкой:

K=(A+X'*B')^-1

при этом, матрицы А, В, Х заданы заранее, но ничего не мешает вставить их непосредственно в формулу:

K=([0 1 2;3 4 5;6 7 8]+[9 3 6;1 3 3;5 2 2;5 2 2]'*[0 2 3 4;5 0 0 6;7 8 9 0]')^-1

Часть 2

Синтез дискретных фильтров

Кратко рассмотрим теоретические сведения по принципам устройства дискретных фильтров. Передаточная характеристика фильтра (отношение выходного и входного сигналов):

(2.1)

где ; – период дискретизации; – коэффициенты фильтра; – порядок фильтра.

Периоду дискретизации соответствует частота дискретизации (частота оцифровки сигнала), которая согласно теореме Котельникова должна как минимум вдвое превышать максимальную частоту сигнала (минимальную также называют частотой Найквиста). Нерекурсивный фильтр использует для получения выходного сигнала только отсчеты входного, в этом случае , остальные . Рекурсивный фильтр имеет обратную связь, вычисляя выходное значение как по входным, так и выходным отсчетам, тем самым являясь потенциально неустойчивым. Для повышения устойчивости используют последовательное соединение нескольких каскадов (секций) с низким порядком. При этом передаточные функции каскадов перемножаются.

Графическая среда расчета фильтров запускается командой “fdatool”.

Задание. Синтезировать нерекурсивный (FIR) и рекурсивный (IIR) фильтры в соответствии с приведенным ниже заданием, придерживаясь следующих рекомендаций. Исходные данные: ( – частота дискретизации; – граница полосы пропускания; – граница полосы ослабления) производится в режиме Filter Specifications – выбирается в меню “Analysis”. Запуск синтеза осуществляется кнопкой Design Filter, просмотр АЧХ – выбором пункта меню “Analysis / Magnitude Response”, просмотр коэффициентов фильтра – меню “Analysis /View Filter Coefficients”.

Полоса частот входного сигнала: 48 кГц;

Полоса пропускания: выше 22 кГц;

Неравномерность в полосе пропускания: 6 дБ;

Ослабление частот ниже 16 кГц: не менее 60 дБ.

Из задания понятно, что это ФВЧ (фильтр высоких частот), пропускающий частоты выше 22 кГц. Максимальная частота во входном сигнале – 48 кГц, соответственно,

кГц. Выбираем кГц.

кГц.

кГц.

дБ.

дБ.

На рис. 2.1 показана схема обозначений для ВЧ фильтра при работе в MATLAB.

После пересчета заданных параметров в режиме IIR (рекурсивный) фильтр, получили характеристику (АЧХ), показанную на рис. 2.2.

Параметры фильтра:

Порядок фильтра: 5

Секций: 1

Таблица 2.1

В таблице 2.1 Numeration – это коэффициенты , Denominator – .

После пересчета заданных параметров в режиме FIR (нерекурсивный) фильтр, получили характеристику (АЧХ), показанную на рис. 2.3.

Параметры фильтра:

Порядок фильтра: 28

Секций: 1

Таблица 2.2

Из таблицы 2.2 видно, что в формуле 2.1 все коэффициенты отсутствуют (равны нулю), а .

Часть 3

3.1. Просмотр демонстрационного примера

Запустить пример, демонстрирующий спектральный анализ двухчастотных сигналов, используемых в телефонии, набрав в командной строке phone. На верхней диаграмме изображена осциллограмма сигнала, на нижней — спектр. При тональном наборе номера генерируются частоты 697, 770, 852, 941, 1209, 1336, 1477 Гц. Привести в отчете значения пар частот из указанного ряда для трех-четырех наборных кнопок (например, 1, 5, 9, #). Закрыть окна демонстрационного примера.

Спектр частот для кнопки сигнала кнопки 1 приведен на рис. 3.1

Спектр частот для кнопки сигнала кнопки 5 приведен на рис. 3.2

Спектр частот для кнопки сигнала кнопки 9 приведен на рис. 3.3