Курс лекций 8 (Лекции)
Описание файла
Файл "Курс лекций 8" внутри архива находится в папке "Лекции". Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (тфкп)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Курс лекций 8"
Текст из документа "Курс лекций 8"
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru
Глава 8. Приложения.
§1 Гармонические функции.
Определение. Гармонической в области D функцией называется действительная функция u(x,y) обладающая в D непрерывными вторыми производными и удовлетворяющая уравнению
Теорема. Действительная и мнимая части однозначной аналитической функции в области D являются гармоническими в этой области функциями.
Имеем f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
(CR)
Откуда и следует требуемое равенство.
Определение. Две гармонические функции, связанные условиями (CR) называются сопряженными.
§2 Комплексный потенциал
Рассмотрим плоское поле 
Соленоидальное поле ( без источников и стоков, поток через замкнутую кривую равен нулю ) 
. Тогда для формы 
выполнены условия полного дифференциала 
, поэтому существует функция 
, для неё
(1)
Определение. Функцией тока плоского соленоидального поля 
называется дважды непрерывно дифференцируемая функция v, удовлетворяющая соотношениям (1).
Функция тока находится по формуле
-
Потенциальное ( безвихревое поле )
![]()
. В этом случае существует потенциал ![]()
. -
Поле и потенциальное и соленоидальное. В этом случае, как это следует из 1) и 2), выполнены условия
, 
(2),
которые являются условиями Коши-Римана для функции
f(z)=u(x,y)+iv(x,y).
Эта функция называется комплексным потенциалом данного поля. Отметим, что в плоском поле без источников и вихрей функция тока и потенциал являются гармоническими сопряженными функциями. Как это следует из 1)-2)
Для такого поля поток
-
Восстановления функции тока по потенциалу.
Если потенциал u является гармонической функцией, то форма –Qdx+Pdy является полным дифференциалом и функция тока v восстанавливается по формуле
Аналогичным образом может быть восстановлен потенциал u по функции тока v, если она гармонична.
§3 Операционное исчисление
Дана задача Коши
an0. (1)
Будем предполагать, что f(t) и x(t) вместе со всеми производными до n-го порядка являются оригиналами. Положим x(t)X(p), f(t)F(p). Из свойств преобразования Лапласа следует, что
Отсюда, применяя преобразование Лапласа к (1) получим
, или
.
Таким образом,
, находя оригинал x(t)X(p) для функции X(p), получим решение задачи Коши.
Таблица основных свойств преобразования Лапласа
|
|
|
| f(t)+g(t)F(p)+G(p) |
|
|
|
|
| 0 , | , f(t-)e-pF(p) |
| F(p-)etf(t) |
|
| f’(t)pF(p)-f(0), | f(n)(t)pnF(p)-pn-1f(0)-…-f(n-1)(0) |
|
|
|
Таблица некоторых преобразований Лапласа
| Оригинал | Изображение | |
| 1 | t (>-1) | |
| 2 | e-t | |
| 3 | e-t t (>-1) | |
| 4 | sin t | |
| 5 | cos t | |
| 6 | tn sin t | |
| 7 | tn cos t | |
| 8 | e-t sin (t+) | |
| 9 | e-t cos (t+) | |
| 10 | sh t | |
| 11 | ch t | |
| 12 | | |
| 13 | | |
| 14 | | |
| 15 | | |
| 16 | | |
| 17 | | |
| 18 | | |
| 19 | | |
| 20 | | |
Пример 1. x’’+a2x=b sin at, общие начальные данные x0, x1,
, поэтому
Согласно 5 из таблицы 
,
согласно 4 из таблицы 
,
согласно 6 из таблицы 
, отсюда, используя свойство интегрирования оригинала, получим 
, откуда
Окончательно
Пример 2. x’’’+3x’’+3x’+x=1, нулевые начальные условия.
(p+1)3X(p)=1/p,
. Откуда
Пример 3. x’’’+x=1, нулевые начальные условия.
Оригинал находим по второй теореме Хевисайда
Пример 3. x’’’+x=1, нулевые начальные условия.
,
По второй теореме Хевисайда
Пример 4. 
, нулевые условия. Используя 4 из таблицы, получим 
. По второй теореме Хевисайда
=
Пример 5. x’’+2x=a[H(t)-H(t-b)], нулевые начальные условия.
, по второй теореме Хевисайда
Свойство запаздывания дает 
Окончательно 
Пример 7.
x’+ax=f(t), нулевые условия
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru
