Курс лекций 5 (Лекции)
Описание файла
Файл "Курс лекций 5" внутри архива находится в папке "Лекции". Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (тфкп)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Курс лекций 5"
Текст из документа "Курс лекций 5"
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru
Глава 5. Ряды Тейлора и Лорана
§1 Ряд Тейлора аналитической функции
Напоминание. Равномерно сходящийся на g ряд из непрерывных функций можно почленно интегрировать.
1.Теорема Тейлора.
Теорема. Если f аналитическая функция в области D, то для каждой точки z0ÎD имеет место разложение
разложение единственно.
Доказательство. Пусть d меньше, чем расстояние от z0 до границы ¶D.
Из аналитичности f(z) следует, что для окружности C с центром z0 и радиуса d получим ( |z-z0|< d )
из Сл.2 теоремы пункта 1 главы 2 следует, что
. Единственность следует из той же теоремы.
Равномерная сходимость ( для интегрирования ) следует из неравенства.
2.Неравенство Коши для коэффициентов ряда Тейлора. Теорема Лиувиля.
Утверждение. Если аналитическая в |z-z0|<R функция f(z) ограничена на окружности |z-z0|=R, |f(z)|M, то для коэффициентов ak в разложении
Теорема Лиувиля. Если f аналитическая во всей плоскости С и ограничена, то она константа.
Доказательство. Берём R.
§2 Единственность аналитической функции. Принцип максимума модуля.
1.Внутренняя теорема единственности аналитических функций. Нули аналитических функций.
Теорема. Если a нуль аналитической функции ( не тождественно равной нулю ), то существует n такое, что f(z)=(z-a)ng(z), где g(z)-аналитическая функция в точке a, не равная нулю в некоторой окрестности точки a.
Доказательство следует из формулы Тейлора разложения функции в окрестности точки a.
, в качестве n возьмем индекс первого, отличного от нуля коэффициента ak
Отсюда следует, в частности,
Теорема. Если f(z) аналитическая в точке a, f(a)=0 и не является тождественным нулём, то этот нуль изолирован.
Ещё одно следствие.
Теорема. Если f(z) и g(z) аналитические в области D и совпадают на некоторой последовательности точек ak aD , то f(z)g(z) в D.
Для доказательства рассматривается функция h(z) = f(z) – g(z), имеющая a не изолированным нулем. Из предыдущей теоремы следует h(z) 0.
2.Принцип максимума модуля аналитической функции.
Теорема. Если не тождественно постоянная функция f(z) аналитична в односвязной области D и непрерывна в DD, то её модуль не может достигать максимального значения в области D.
Доказательство. Противное, пусть и существует окружность С с центром в z0, на которой не все значения |f(z)|=M . Иначе функция является постоянной в круге с центром в z0 максимально возможного радиуса. Тоже самое можно сказать про любую точку границы этого круга, внутренней по отношению к области D. Таким образом, можно доказать постоянство функции во всей области D. Пусть 0С и |f(0)|<M, существует некоторая окрестность этой точки на окружности, где
|f()|<M-, U(0)C
3.Терема Вейерштрасса
Теорема 1. Если ряд аналитических в области D функций fk(z), f(z)=fk(z) равномерно сходится на любом компакте KD, то
-
f(z) аналитическая в D
-
f(p)(z)= fk(p)(z),p=1,2,…(*)
-
ряд (*) равномерно сходится на любом компакте K D.
Доказательство. Рассмотрим окружность окрестность U точки z0 , лежащую в D со своим замыканием. Границу U ориентированную положительно обозначим С .
f()= fk() непрерывна на C . Рассмотрим интеграл типа Коши
, эта функция аналитична в U и там
сходится равномерно на C, следовательно, его можно почленно интегрировать.
, в частности, F(z)= fk(z)=f(z). В силу произвольности z доказанное утверждение распространяется на все точки из D.
Равномерную сходимость ряда из производных будем доказывать только в частном случае, именно, когда K является замкнутым кругом радиуса r0, лежащем в D . Несколько увеличим радиус этого круга так, чтобы вновь полученный круг K* радиуса r также лежал в D . Границу этого круга, ориентированную положительно обозначим C.
Тогда для всех zK будет выполнено
Теорема 2. Если ряд f(z)= fk(z) аналитических в области D со спрямляемой границей D и непрерывных в замыкании DD функций fk(z) равномерно сходится на границе D, то этот ряд равномерно сходится в D.(доказано только для любого компакта лежащего в D)
zD:F(z)=f(z). Пусть компакт K D и - расстояние от K до границы D, l – длина этой границы. Тогда для zK
§3 Ряды Лорана
Определение. Ряд вида называется рядом Лорана. называется правильной частью, называется главной частью ряда Лорана. Областью сходимости такого ряда ( в случае реального присутствия членов с отрицательными показателями ) будет кольцо r<|z-z0|<R, в частности, может быть r=0, R=.
Из свойств степенных рядов следует, что ряд Лорана сходится равномерно на любом компакте, лежащем в кольце r<|z-z0|<R , в частности, ряд Лорана можно почленно интегрировать по кривым, лежащим в кольце сходимости. Из соответствующего свойства степенных рядов следует возможность почленного дифференцирования ряда Лорана.
Теорема Лорана. Если функция f(z) – аналитическая в кольце К: 0 r0 <|z-z0|<R0 , то
С - окружность {| - z0|=, r0 < <R0 }
Доказательство. Выберем кольцо r<|z-z0|<R так, что r0 < r, R < R0 . Окружности с центром z0 радиусами r, R , положительно ориентированные, обозначим Cr , CR .
По формуле Коши для области с границей выполнено равенство
Интегралы и равны, соответственно, , k0, ,k<0.
Теорема. Разложение в ряд Лорана единственно.
Доказательство. Отметим, что справедлива
Лемма Имеет место равенство
2rm+1 . Откуда и следует требуемое равенство.
умножая на получим . Интегрируя последнее равенство по C , получим 2icn=2ibn. Для этого интегрирования равномерная сходимость внутри кольца на окружностях есть.
Теорема. Имеет место неравенство
Доказательство.
§4 Изолированные особые точки однозначных аналитических функций.
Определение. называется изолированной особой точкой ( и.о.т.) функции f, если существует проколотая окрестность этой точки, где функция аналитична.
Пример. z+1/(z-1) изолированные особые точки 1, .
Определение. И.о.т. a называется устранимой, если существует конечный предел , полюсом, если , существенно особой точкой, если предел не существует.
Теорема. Для того, чтобы и.о.т. a была устранимой необходимо и достаточно, чтобы разложение в ряд Лорана в этой точке не содержало отрицательных степеней z-a
отсутствовала главная часть.
Достаточность очевидна. Необходимость.
Следствие. После доопределения по непрерывности функция становится аналитичной в данной точке.
Теорема. Для того, чтобы и.о.т. была полюсом необходимо и достаточно, чтобы в разложении в ряд Лорана присутствовала главная часть следующего вида
Достаточность очевидна. Необходимость. Дано , тогда a есть изолированный нуль функции g(z)=1/f(z)=(z-a)n h(z), h(z)0 в окрестности a.
Определение. Порядком полюса a функции f называется порядок нуля a функции 1/f(z).
Следствие. Для полюса a порядка n, имеет место разложение
Определение. Порядком полюса z= функции f(z) называется натуральное число n, равное наибольшей из положительных степеней z с отличными от нуля коэффициентами в разложении.
Теорема Соходского. Если - существенно особая точка функции f(z), то для .
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru