Курс лекций 4 (Лекции)
Описание файла
Файл "Курс лекций 4" внутри архива находится в папке "Лекции". Документ из архива "Лекции", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "высшая математика (тфкп)" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Курс лекций 4"
Текст из документа "Курс лекций 4"
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru
Глава 4. Теория интеграла
Далее всюду в этой главе, если не оговорено противное, рассматриваются однозначные функции.
§1. Понятие интеграла. Теорема Коши.
1.Интеграл и его свойства. Для кривой и функции f(z), определенной на ней, рассматриваются интегральные суммы , см. рис.
Интеграл определяется, как предел этих сумм в стандартном смысле и обозначается . Если кривая имеет параметризацию z(t), t[,], интегральные суммы в определении будут выглядеть следующим образом
Для непрерывной функции f(z) и непрерывно дифференцируемой кривой z(t), t[,] эти суммы будут сходиться к интегралу . Расписывая действительную и мнимую части этот интеграл можно выразить через криволинейные интегралы
Это равенство можно принять за определение интеграла в частном случае, когда и последние два интеграла существуют.
Свойства
1) Линейность
2) Аддитивность по множеству
5) Если - кусочно гладкая и fk() сходится равномерно на к f(), то следует из 4.
6) Определение интеграла по D=01…m.
2.Теорема Коши.
Если D- ограниченная область, D, граница которой - кусочно гладкая Жорданова кривая из D, гомотопная нулю (область, ограниченная этой кривой, односвязна ) и f аналитическая в D, то .
Доказательство. Для представления интеграла воспользуемся формулой Грина
Формула Грина справедлива и для многосвязных областей. Поэтому справедлива
Обобщенная теорема Коши. Пусть D- ограниченная область с границей D=01…m, f аналитическая в D и непрерывная в , тогда .
Следствие. В области D интеграл не зависит от пути интегрирования, а только от начальной и конечной точек кривой.
Таким образом, интеграл от аналитической функции в многосвязной области D не изменяется, если путь интегрирования непрерывно деформировать, оставляя неподвижными концы.
§2 Интеграл Коши
1.Интегральная формула Коши.
Пусть D- m- связная область с границей D=01…m-1 и f – аналитическая в D, непрерывная в функция. Имеет место формула
Доказательство. Если zDD, то равенство нулю интеграла следует из аналитичности подинтегральной функции для D. Пусть C – окружность с центром в z: (t)=z+reit достаточно малого радиуса. В этом случае, согласно обобщенной теореме Коши , откуда следует, что . Так как d=r i eit dt, то . Далее стягиваем С к нулю и используем теорему о среднем. Отметим, что , то есть последний интеграл является константой.
Следствие. Теорема о среднем. Если f непрерывна в |z|r и аналитическая в |z|<r, то
2.Интеграл типа Коши. Интегралом типа Коши называется интеграл
, где - кусочно-гладкая замкнутая кривая Жордана, ограничивающая односвязную область D, а -непрерывная на функция.
Теорема. Интеграл типа Коши является аналитической функцией в области D и
Доказательство.(только аналитичность, существование старших производных и формула для их вычисления будет доказана позже в разделе формулы Тейлора).
Выберем окрестность точки z0 , целиком лежащую в области D
Если |z-z0|</2, то расстояние от до таких точек z будет больше чем /2, тогда , откуда следует неравенство
Переходя к пределу, получим требуемое равенство.
Следствие. Аналитическая в D функция имеет там производные любого порядка (доказательство в разделе формулы Тейлора).
§3 Первообразная.
1.Теорема Морера.
Теорема. Пусть D односвязная область, f() непрерывна в D и интеграл , z,z0D не зависит от пути интегрирования, или, что тоже для любой замкнутой кривой Жордана, лежащей в D. Тогда F(z) аналитическая в D и F(z)=f(z).
Доказательство. Рассмотрим две точки z и z+z, путь из z0 в z обозначим , путь из z0 в z+z пусть будет 1, где 1:z(t)=z+z t, t[0,1].
Тогда
Определение. Функция F(z) такая, что F(z)=f(z) называется первообразной для f(z) на рассматриваемой области.
Теорема. Любые две первообразные одной и той же функции отличаются на константу.
Доказательство. Пусть F1(z), F2(z) первообразные для f(z). Положим =F2 - F1. Так как голоморфна, то , кроме того, из условия , поэтому , откуда и следует требуемое утверждение.
Напоминание. (z)= (x,y)= ,x=ux+ivx, y=uy+ivy
2.Формула Ньютона-Лейбница
Теорема. Если F(z) первообразная аналитической функции f(z), то
Доказательство. Если F(z) – первообразная, то
ТФКП. 4 семестр. Логинов А.С. 2006 г. loginov_1999@mail.ru