Вопросы к экзамену 1 семестр 2 (Билеты, ответы и шпоры на экзамен (ИУ5))

Программа

экзамена но математическому анализу

для студентов 1 курса 1 семестра, специальностей ИУ, РЛ, БМТ.

1.Числовая последовательность и её предел. Теорема о единственности предела сходящейся числовой последовательности. _ Теорема об ограниченности сходящейся

числовой последовательности. Число е как предел последовательности (1 + 1/n)ⁿ при

n → ∞.

2. Предел функции при х → х₀, его геометрическая иллюстрация. Ограниченные функции. Теорема о локальной ограниченности функции, имеющей конечный предел. Предел функции при х → ∞, его геометрическая иллюстрация. Односторонние пределы. Основные теоремы о пределах: единственность предела функции, сохранение функцией знака своего предела, о предельном переходе в неравенстве, о пределе промежуточной функции (признак существования предела функции).

Теорема о связи между функцией, ее пределом и бесконечно малой величиной. Теоремы об арифметических операциях с функциями, имеющими конечные пределы при

х → х₀ (или х → ∞ ). Первый замечательный предел (с выводом) и следствия из него. Второй замечательный предел и следствия из него. Натуральные логарифмы. Гиперболические функции, их свойства и графики.

Бесконечно малые величины. Свойства бесконечно малых величин: теоремы о сумме конечного числа бесконечно малых величин и о произведении бесконечно малой на величину ограниченную.

Бесконечно большие функции. Теорема об их связи с бесконечно малыми. Сравнение бесконечно малых величин. Теорема об эквивалентных бесконечно малых.

3. Непрерывность функции в точке, равносильные формулировки определения.
Односторонняя непрерывность. Непрерывность функции в интервале и на отрезке. Теоремы
о непрерывности суммы, произведения, частного и композиции непрерывных функций.
Непрерывность основных элементарных функций (док-во для многочлена и sin х).
Непрерывность элементарной функции в области ее определения.

Свойства функций, непрерывных на отрезке. Точки разрыва функции и их классификация. Асимптоты графика функции. Вывод уравнения наклонной (горизонтальной асимптоты).

4. Производная функции в точке. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Геометрический смысл производной. Уравнения касательной и нормали к графику функции
в заданной точке. - Дифференцируемость функции в точке, эквивалентность
дифференцируемости существованию в точке конечной производной. Теорема о
непрерывности дифференцируемой функции.

Основные правила дифференцирования: производная постоянной, суммы, произведения, частного, сложной функции, обратной функции. Формулы дифференцирования основных элементарных функций и гиперболических функций. Логарифмическая производная и ее применение. Дифференцирование функции, заданной параметрически и неявной функции. Производные высших порядков.

5. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Правила вычисления
дифференциалов. Инвариантность формы записи дифференциала первого

6. Основные теоремы о дифференцируемых функциях: теоремы Ферма, Ролля,
Лагранжа (с геометрической иллюстрацией), Коши, Лопиталя-Бернулли (док-во только для случая раскрытия неопределенности вида 0/0). Раскрытие неопределенностей других видов.

Теорема Тейлора, формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Остаточный член в форме Лагранжа. Представление по формуле Маклорена функций е^x, sin(x) (с оценкой остаточного члена формулы Маклорена в форме Лагранжа и Пеано соответственно), соs(x), ln(1 + x), (1 + х)ⁿ.

1. Монотонные функции. Необходимое условие монотонности дифференцируемой
   функции, достаточное условие. Экстремум функции. Необходимый признак существования
   экстремума дифференцируемой функции. Критические точки функции. Первый
   достаточный признак существования экстремума функции. Второй достаточный признак
   существования экстремума дважды дифференцируемой функции.

2. Понятие выпуклости графика функции в интервале. Достаточный признак
   выпуклости вверх (выпуклости вниз) графика дважды дифференцируемой функции. Точки
   перегиба графика функции. Необходимый признак существования точки перегиба графика
   дважды дифференцируемой функции. Достаточный признак существования точки перегиба
   графика дважды дифференцируемой функции. Полное исследование функции и схема
   построения графика функции.

3. Понятие длины дуги плоской кривой. Производная и дифференциал длины дуги
   плоской кривой, геометрический смысл дифференциала. Кривизна кривой, радиус, центр и
   окружность кривизны. Эволюта и эвольвента, их свойства (без док-ва).

10. Векторная функция скалярного аргумента: R → R³. Предел и непрерывность вектор - функции. Производная вектор - функции, ее геометрический и механический смысл. Уравнения (канонические) касательной к пространственной кривой • в заданной точке. Правила дифференцирования вектор - функции (без док-ва). Теорема о производной вектор - функции постоянной длины, ее геометрическая интерпретация.

11. Решение уравнений f(x) = 0. Метод деления отрезка пополам. Методы хорд и касательных. Итерационные методы решения уравнений х = F(х). Сходимость. Методы хорд и касательных как частные случаи итерационных методов и условия их сходимости.

ПРИМЕЧАНИЕ Студенты должны уметь:

1. Для всех понятий, встречающихся в программе, формулировать определения.

2. Теоремы, признаки - доказывать.

3. Формулы, правила дифференцирования - выводить.