Небольшая шпора к экзамену

Билет 1.

Геометрический вектор(свободный вектор).Неважно,к какой точке он приложен,важно

направление и длина.

Связанный вектор-приложен к какой-то точке.

Коллинеарные векторы-векторы,расположенные на одной прямой,либо на параллельных

прямых.

Компланарные векторы-векторы,параллельные какой-то плоскости.Нулевой вектор

компланарен любому вектору.

Свойства сложения:

1) a+b=b+a

2) a+(b+c)=(a+b)+c=a+b+c

3) a+0=a

4)Для любого вектора a существует и единственный вектор b,такой что

a+b=0,т.е.b=-a.

Свойства умножения вектора на число:

1) Alpha(Beta*a)=(Alpha*Beta)*a.

2) (Alpha+Beta)*a=Alpha*a+Beta*a.

3) Alpha*(a+b)=Alpha*a+Beta*b.

4) 1*a=a.

Орта-вектор,длина которого равна 1,направление совпадает с направлением вектора

a.

Линейные операции-операции сложения и умножения на число.

b=a*cos Alpha.

Билет 2.

Система векторов a1,...,an называется линейно зависимой,если найдутся такие

действительные числа Alpha1,...,Alphan,из которых хотя бы одно не равно 0,что

Alpha1*a1+...+Alphan*an=0.

Система векторов a1,...,an называется линейно независимой,если действительные

Alpha1,...,Alphan,где хотя бы одно число не равно 0,что Alpha1*a1+...+Alphan*an

не равно 0.

Если система векторов a1,...,an-линейно зависимая,то хотя бы один можно

представить в виде линейной комбинации других.

Теорема:

2 вектора линейно зависимы тогда и только тогда,когда эти векторы

коллинеарны(параллельны).

Д-во:

a1,a2=>Существуют действительные Ljambda1,Ljambda2 и Ljambda1 не равно 0 или

Ljambda2 не равно 0,таких что Ljambda1*a1+Ljambda2*a2=0.Пусть Ljambda1 не равно

0,тогда a1=-(Ljambda2/Ljambda1)*a2.

Mju=-Ljambda2/Ljambda1.

a1=Mju*a2,значит a1 и a2-коллинеарны.

Пусть a1,a2-коллинеарны,тогда a1=Mju*a2.

Mju=[a2]/[a1],если a2 и a1 направленны одинаково и Mju=-[a2]/[a1],если в разные

стороны.a1-Mju*a2=0.Mju не равно 0-значит система линейно независима.

Следствие:

Любые 2 неколлинеарных вектора линейно независимы(из-за слов тогда и только

тогда).

Билет 3.

Теорема:

2 вектора линейно зависимы тогда и только тогда,когда эти векторы

коллинеарны(параллельны).

Д-во:

a1,a2=>Существуют действительные Ljambda1,Ljambda2 и Ljambda1 не равно 0 или

Ljambda2 не равно 0,таких что Ljambda1*a1+Ljambda2*a2=0.Пусть Ljambda1 не равно

0,тогда a1=-(Ljambda2/Ljambda1)*a2.

Mju=-Ljambda2/Ljambda1.

a1=Mju*a2,значит a1 и a2-коллинеарны.

Пусть a1,a2-коллинеарны,тогда a1=Mju*a2.

Mju=[a2]/[a1],если a2 и a1 направленны одинаково и Mju=-[a2]/[a1],если в разные

стороны.a1-Mju*a2=0.Mju не равно 0-значит система линейно независима.

Следствие:

Любые 2 неколлинеарных вектора линейно независимы(из-за слов тогда и только

тогда).

Теорема:

3 вектора линейно зависимы тогда и только тогда,когда они компланарны.

Д-во:

Пусть a1,a2,a3=>Действительные Ljambda1,Ljambda2,Ljambda3 причём Ljambda1 не

равно 0 или Ljambda2 не равно 0 или Ljambda3 не равно 0,такие что

Ljambda1*a1+Ljambda2*a2+Ljambda3*a3=0.Пусть Ljambda1 не равно 0.Тогда

a1=Mju2*a2+Mju3*a3,где Mju2=-Ljambda2/Ljambda1,Mju3=-Ljambda3/Ljambda1.

Пусть

a1,a2,a3-компланарны.b=Mju1*a2,c=Mju2*a3.Mju1,Mju2-действительные.a1=Mju2*a2+Mju

3*a3=>a1-Mju2*a2-Mju3*a3=0,т.е. таким образом векторы линейно зависимы.

Следствие1:

3 некомпланарных вектора линейно независимы.

Следствие2:

Если среди 3-х векторов найдётся пара коллинеарных или нулевой,то они линейно

зависимы.

Теорема:

Любые 4 вектора линейно зависимы

Билет 4.

3 линейно независимых вектора образуют в пространстве базис,если любой вектор

для этого пространства может быть выражен как линейная комбинация 3 данных

векторов. d=Ljambda*a+Mju*b+Gamma*c.

Если векторы a,b,c образуют базис в пространстве,то представление вектора

d,называется разложением вектора d по базису a,b,c.Действительные

Ljambda,Mju,Gamma-называются координатами вектора d в базисе a,b,c.

Теорема:

Любой вектор может быть единственным образом разложен по данному базису.

Д-во:

Пусть существует 2 возможности для разложения вектора d по базису:

d=Ljambda1*a+Mju1*b+Gamma1*c.

d=Ljambda2*a+Mju2*b+Gamma2*c.

(Ljambda1 не равна Ljambda2)или(Mju1 не равно Mju2)или(Gamma1 не равно Gamma2).

0=(Ljambda1-Ljambda2)*a+(Mju1-Mju2)*b+(Gamma1-Gamma2)*c<=>(Ljambda1-Ljambda2=0)и

(Mju1-Mju2=0)и(Gamma1-Gamma2=0)<=>(Ljambda1=Ljambda2)и(Mju1=Mju2)и(Gamma1=Gamma2

).

Теорема:

При сложении векторов a1 и a2,разложенных по некоторому базису,их координаты

складываются.При умножении на число Ljambda,умножаются на Ljambda по элементам.

Д-во:

e1,e2,e3-векторы,образующие базис.

a1=Ljambda1*e1+Mju1*e2+Gamma1*e3.

a2=Ljambda2*e1+Mju2*e2+Gamma2*e3.

a1+a2=Ljambda1*e1+Mju1*e2+Gamma1*e3+Ljambda2*e1+Mju2*e2+Gamma2*e3=(Ljambda1+Ljam

bda2)*e1+(Mju1+Mju2)*e2+(Gamma1+Gamma2)*e3.

Alpha-действительное.

Alpha*a1=Alpha*(Ljambda1*e1)+Alpha*(Mju1*e2)+Alpha*(Gamma1*e3)=(Alpha*Ljambda1)*

e1+(Alpha*Mju1)*e2+(Alpha*Gamma1)*e3.

Афинными координатами в пространстве задаются базисом и точкой отсчёта,которая

называется началом координат.

Координатами любой точки M,считаются координаты вектора OM в e1,e2,e3.

Базис называется ортонормированным,если векторы i,j,k взаимно ортогональны и

длина каждого из них равна 1.

Афинная система координат с ортонормированным базисом называется декартовой

системой координат.

Билет 5.

Скалярным произведением вектора a на вектор b называется произведение длин этих

векторов на косинус угла между ними.

Свойства скалярного произведения:

1) a*b=b*a.

2) (Alpha*a)*b=Alpha*(a*b).

Д-во:

(Alpha*a)*b=[Alpha*a]*[b]*cos(Alpha*a^b)=Alpha*[a]*[b]*cos(a^b)=Alpha*(a*b).

3) (a+b)*c=a*c+b*c.

Д-во:

(a+b)*c=[c]*Проекция (a+b) на c=[c]*Проекция a на c + [c]*Проекция b на

c=a*c+b*c.

4) a*b=0 тогда и только тогда,когда один из векторов равен 0,либо cos(a^b)=0.

5) a*a=[a]в квадрате.

6) a*a>0,если a-ненулевой.

7) (Alpha*b+Gamma*c)*d=Alpha*b* *d+Gamma*c*d. Alpha,Gamma-действительные.

Скалярное произведение векторов в декартовых координатах:

i*i=j*j=k*k=1.

i*j=j*k=k*i=0.

a*b=[a]*[b]*cos(a^b)

Физический смысл-работа.

Билет 6.

3 вектора a,b,c образуют упорядоченную тройку,если указано,какой из них 1,2 и

3.Обозначение: <a,b>.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов a1,a2,a3 называется

правой(левой),если наблюдателю,находящемуся внутри телесного угла(угол между

3-мя векторами в пространстве),образованного этими векторами,кратчайшие повороты

от вектора a1 к a2 и от a2 к a3 кажутся происходящими против(по) часовой

стрелки.

Афинная система координат называется правой(левой),если векторы образуют

правую(левую) тройку.

Векторным произведением вектора a на вектор b(обозначение: c=[a,b]),называется

вектор c,удовлетворяющий следующим условиям:

1) [c]=[a]*[b]*sin(a^b)-замечание: a^b<Pi.

2) Вектор c ортогонален каждому из векторов a и b.

3) Вектор c направлен так,что векторы a,b,c образуют правую тройку.

Физический смысл:момент силы.

Теорема:

Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является

равенство нулю их векторного произведения.

Д-во:

1) Необходимое: Пусть векторы a и b-коллинеарны=>sin(a^b)=0=>[a,b]=0.

2) Достаточное: [a,b]=0. Случай 1:(a=0)и(b=0). Случай 2: a не равно 0, b не

равно 0,[a,b]=0=>sin(a^b)=0-т.е.a и b-коллинеарны,ч.т.д.

Свойства векторного произведения:

1) [a,b]=-[b,a]-антиперестановочность.

2) [(Alpha*a),b]=Alpha*[a,b]-сочетательность.

3) [(a+b),c]=[a,c]+[b,c].

4) [a,a]=0.

Теорема:

a={x1,y1,z1}

b={x2,y2,z2}

[a,b]={y1*z2-z1*y2,z1*x2-x1*z2,x1*y2-y1*x2}.

[a,b]=определитель:1) i,j,k. 2) x1,y1,z1. 3) x2,y2,z2.

Следствие:

Если 2 вектора a и b-коллинеарны,то координаты этих векторов пропорциональны.

Билет 9.

Ось-прямая,которой задан координатный вектор.

2(3)взаимно перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковым

масштабом образуют декартовую систему координат.

Уравнение f(x,y)=0 называется уравнением линии L(относительно заданной системы

координат)если этому уравнению удовлетворяют все <x,y> лежащие на L,и

неудолетворяют координаты точек,не лежащих на L.

Линия называется алгебраической,если в некоторой декартовой прямоугольной

системе координат она определяется уравнением f(x,y)=0,в которой

f(x)-алгебраический полином.

Всякая неалгебраическая линия называется трансцендентной.

Вычисление длины отрезка:

a={x,y,z}

[a]=корень из x квадрат + у квадрат + z квадрат.

x=x2-x1,

y=y2-y1,

z=z2-z1,где M1={x1,y1,z1},M2={x2,y2,z2}.

Деление отрезка:

Ljambda=(M1*M)/(M*M2).

M1={Mx1,My1,Mz1}

M2={Mx2,My2,Mz2}

M={Mx,My,Mz}

Mx1Mx=x-x1,

MxMx2=x2-x.

(x-x1)/(x2-x)=Ljambda.=>Ljambda*x2-Ljambda*x=x-x1.=>x=(x1+Ljambda

*x2)/(1+Ljambda). (аналогично для y и z).

Билет 10.

Уравнение прямой на плоскости:

Если линия описывается в одной системе координат алгебраическим уравнением

степени m,то в любой другой системе она описывается уравнением той же степени.

Теорема:

Если на плоскости Pi задана произвольная прямая L и фиксированная система

координат,то уравнение прямой имеет степень 1.

Д-во:

Выберем систему координат,такую что OY параллельна L.Тогда уравнение L x=a,т.е.

в данной системе координат уравнение есть первой степени.

Если задана плоскость,система координат(декартовая),то всякое уравнение с двумя

переменными первой степени определяет относительно этой системы координат прямую

линию.

Д-во:

Пусть есть Ax+By+C=0. (1)

(A не равно 0)и(B не равно 0)и(C не равно 0),то есть пара решений (x0,y0)

Ax0+By0+C=0. (2)

Вычтем (1) из (2):

A(x-x0)+B(y-y0)=0. (3)

Возьмём нормаль к (A,B).

Вектор MM0=(x-x0,y-y0).

Пусть на прямой m лежит точка M.

Вектор MM1={x-x1,y-y1}.

Поскольку точка лежит на прямой,для неё выполняется равенство нулю скалярного

произведения (A,B) и (x-x1,y-y1),то есть (3).

Теорема:

Пусть есть 2 уравнения одной и той же прямой,то коэфициенты должны быть

пропорциональны.

Неполные уравнения прямой:

1) C=0=>Ax+By=0-прямая проходит через начало координат.

2) B=0=>Ax+C=0-параллельна OY.

3) A=0=>By+C=0-параллельна OX.

4) B=0,C=0=>Ax=0-OY.

5) A=0,C=0=>By=0-OX.

(x/(-C/A))+(y/(-C/B))=1.

-C/A=a.

-C/B=b.

(x/a)+(y/b)=1. (4)-уравнение прямой в отрезках.

Любой ненулевой вектор,параллельный данной прямой,называется направляющей данной

прямой.

Каноническое уравнение прямой:

M0={x0,y0}.

Вектор q=(l,m).

M={x,y} принадлежит L.

MM0={x-x0,y-y0}.

(x-x0)/l=(y-y0)/m.

В этом уравнении знаменатели могут быть равны нулю.

Если l=x2-x1,а m=y2-y1,то (x-x1)/(x2-x1)=(y-y1)/(y2-y1).

(y-y1)/(x-x1)=k=tg(Alpha).

Угол между двумя прямыми:

Пусть есть L1: A1x+B1y+C1=0 и L2: A2x+B2y+C2=0.Вектора n1=(A1,B1), n2=(A2,B2).

cos(L1^L2)=cos(n1^n2)=(A1A2+B1B2)/((корень из (A1 квадрат+B1 квадрат))*(корень

из (A2 квадрат+B2 квадрат))).

A1/A2=B1/B2.

A1A2+B1B2=0.

cos(L1^L2)=cos(n1^n2)=(l1l2+m1m2)/((корень из (m1 квадрат+l1 квадрат))*(корень

из (m2 квадрат+l2 квадрат))).

l1/l2=m1/m2.

l1l2+m1m2=0.

tg(fi)=|(k2-k1)/(1+k1k2)|.

fi=Alpha2-Alpha1.

tg(fi)=(tg(Alpha2)-tg(Alpha1))/(1+tg(Alpha1)tg(Alpha2)).

Отклонением Delta называют число +d,когда M и начало координат лежат по разные

стороны,и -d когда они лежат по одну сторону,т.е.d=|Delta|.

Билет 11.

Угол между двумя плоскостями:

Pi1: A1x+B1y+C1z+D1=0.

Pi2: A2x+B2y+C2z+D2=0.

cos(Pi1^Pi2)=cos(n1^n2)=(A1A2+B1B2+C1C2)/((корень из (A1 квадрат+B1 квадрат+C1

квадрат))*(корень из (A2 квадрат+B2 квадрат+C2 квадрат))).

Условия параллельности и ортогональности двух плоскостей:

Pi1 параллельна Pi=>A1/A2=B1/B2=C1/C2.

Pi1 перпендикулярна Pi=>A1A2+B1B2+C1C2=0.

Уравнение плоскости проходящей через 3 различные точки не лежащие на одной

прямой:

Определитель:1) x-x1,y-y1,z-z1.

2) x2-x1,y2-y1,z2-z1. 3) x3-x1,y3-y1,z3-z1. Равен 0.

Нормированное уравнение плоскости.Расстояние от точки до плоскости:

x*cos(alpha)+y*cos(beta)+z*cos(gamma)-P=0.

d=|Delta|=(|Ax1+By1+Cz1+D|)/(корень из(A квадрат+B квадрат+C квадрат)).

Билет 12.

Любой ненулевой вектор параллельный данной прямой называется направляющим

вектором данной прямой.

q=(l,m,n).

M1M=(x-x1)/l=(y-y1)/m=(z-z1)/n-каноническое уравнение прямой.

Параллельность: l1/l2=m1/m2=n1/n2.

Перпендикулярность: l1l2+m1m2+n1n2=0.

Условие принадлежности 2-х прямых плоскости.Каноническое уравнение 2-х прямых:

L1: (x-x1)/l1=(y-y1)/m1=(z-z1)/n1.

L2: (x-x2)/l2=(y-y2)/m2=(z-z2)/n2.

q1(l1,m1,n1).