Шпаргалка по теории ФОЭ, страница 3

В одной элементарной ячейке не может находиться более одного электрона.

Вероятностью данного состояния … …газа называется число способов, которыми можно занять электронами элементарные ячейки импульсного пространства таким образом, чтобы в каждую грубую -ячейку попало соответствующее заданное число электронов.

Вероятность неравновесного состояния электронного газа равно произведению вероятностей заполнения электронами состояний электронов для всех грубых ε-ячеек для этого неравновесного состояния:

Для нахождения вероятности для данной -ячейки следует решить следующую комбинаторную задачу. Надо найти, сколькими способами можно разместить заданное число электронов по элементарным ячейкам этой грубой –ячейки.Для размещения первого взятого электрона имеем мест, так как имеем возможностей заполнить им одну из пустых элементарных ячеек грубой ячейки. Для второго электрона имеем только оставшихся пустых мест. Поместить второй электрон в уже занятую первым электроном элементарную ячейку нельзя, так как это запрещено принципом Паули. Последний электрон имеет для своего размещения мест. Получаем, таким образом, следующее число способов размещения электронов во элементарным ячейкам:

Так как электроны неразличимы, то не надо учитывать порядок, в котором мы перебираем электроны. Поэтому первоначально найденное число способов надо разделить на

РЕШЕНИЕ ОДНОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОНА. ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ И ВОЛНОВЫХ Ф-ЦИЙ. НОРМИРОВКА НА ДЕЛЬТА ФУНКЦИЮ ДИРАКА. ВОЛНА ДЕ БРОЙЛЯ.

Пусть нет никакого потенц. поля, тогда потенц. энергия микрочастицы . Тогда одномерное ур-е Шредингера имеет вид или , если – волновое число частицы. Общее решение этого диф. ур. имеет вид .

Физический смысл следующий. Первое слагаемое характеризует временную волн. ф-ю , где – циклическая частота волны. Это решение опис. периодич. волну, распр. в положительном направ-и оси X, так как в показателе экспоненты и имеют разные знаки. Второе слагаемое характеризует временную волн. ф-ю . Это решение описывает ериод. волну, распр. в отр. напр-и оси X, т.к. в показателе экспоненты и имеют один знак.

Волн. ф-и и опис. разл. сост-я движущейся свободной микрочастицы. Т.к. , , то вероятность найти частицу в любом интервале в состоянии или одинакова, т.е. чаcтица полностью делокализована на всей бесконечной прямой . Т.е. квантовая неопределенность квантовая неопределенность импульса частицы , поэтому частицу лучше характеризовать импульсом . Поэтому рассмотрим в качестве решения ур-я Шредингера волн. ф-и , где . Т.к. , то отнормировать волновые ф-и на прямой невозможно, т.к. интеграл в бесконечных пределах расходится. Тогда нормируем эти ф-и на -функцию Дирека. Пусть . При в правой части стоит бесконечность, тогда . Тогда отнорм. ф-и имеют вид . Частица, описываемая ими, имеет эн-ю . Решения описывают строго периодич. волны частоты - волны де Бройля, период которых равен и Так образом, волны имеют длину волны – формула де Бройля

…

Дельта-функция Дирека

Интеграл Фурье Произвольную функцию , заданную на бесконечной прямой, которая называется функцией оригиналом, можно разложить в интеграл Фурье по функции : , – фурье-образ; ; . Строго математически нельзя переставлять порядок интегрирований. Внутренний интеграл , формально расходящийся, как раз и является -функцией Дирека. ,

, где произвольная функция; – четная функция,

Дебройлевская длина волны

Найдем длину волны для пучка электронов, летящих со скоростью .

Для начала рассуждения ведем над фотонами:

(1)

Для монохроматической световой волны длина волны , частота и скорость связаны соотношением

, где – импульс фотона

Распространим действие формулы и на электроны.

Электрон со скоростью и массой обладает импульсом . Тогда для пучка электронов

.

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА ДЛЯ ОДНОМЕРНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЯМЫ С БЕСКОНЕЧНЫМИ СТЕНКАМИ. ВЫВОД ФОРМУЛ ДЛЯ УРОВНЕЙ ЭНЕРГИИ И НОРМИРОВАННЫХ ВОЛНОВЫХ Ф-ЦИЙ.

1 ) грубая модель одноэлектронного атома, доказывающая, что эл-н движется с дискретными значениями эн-и 2) модель дв-я свободного эл-а в твердом теле макроскопических размеров

– ф-я потенциальной эн-и эл-а . Там, где , волновая функция тождественно равна нулю. Решаем одномерное уравнение Шредингера только внутри потенциальной ямы . На границах области ямы потребуем выполнение граничных условий непрерывности волновой функции ,

В уравнении Шредингера перенесем в левую часть и умножим все уравнение на : , где .

Решение рассматриваемого дифференциального уравнения имеет вид .

; . Пусть , тогда , , т.к. при тривиальное решение. Таким образом, получили набор значения волнового числа дискретные значения энергии . Энергетические расстояния между соседними дискретными уровнями увеличиваются с ростом , т.к.

Отнормируем найденные решения , т.е. пусть .

Тогда

Тогда .

Условие Борна-Кармана Пусть ур-е Шредингера, заданное на всей бесконечной прямой удовлетворяет условию периодичности , с заданным пространственным периодом

…

Тогда рассмотрим ур-е , при .

Решение рассматриваемого диф.ур. имеет вид . , при всех

Тогда , , . При из двух независимых решений и остается только , второе же не имеет физического смысла.

Тогда решения уравнения Шредингера имеют дискретные энергии и каждому значению соответствует два независимых решения. При – невырожденный уровень с энергией .

Отнормируем волновые функции ямы с бесконечными стенками с условием Борна-Кармана

Характеризуем эти решения импульсами , где

Пусть и

Тогда , так что

Если сравнивать без условия Борна-Кармана, то уровни расположены в два раза чаще.

Но с учетом двукратного вырождения уровней в задаче с условием Борна-Кармана имеем одинаковую плотность уровней на оси энергии при больших квантовых числах .

ЗАДАЧА ОБ ОДНОМЕРНОМ ПРЯМОУГОЛЬНОМ ПОТЕНЦИАЛЬНОМ БАРЬЕРЕ. ФОРМУЛА ДЛЯ ТУННЕЛЬНОЙ ПРОЗРАЧНОСТИ БАРЬЕРА.

Э л-н с некоторой задан. эн-й E налетает на барьер, который задается ф-й потенциальной энергии

- высота, –ширина барьера. Пусть .

Рассмотрим уравнение Шредингера в трех областях:

1. Падающая и отраженная волны

2. Уменьшающаяся по мере проникания электрона внутрь барьера волна

3. Прошедшая волна

В I и III и у-е Шредингера имеет вид ;

В II и у.Ш. имеет вид .

Умножим каждое из уравнений на и заменим , . Тогда в I и III ,

В II

Общее решение для I и III

Волновая функция описывает волну, распр. в положительном направлении оси X.Полное выражение волны: .

Волновая функция описывает волну, распр. в отрицательном направлении оси X. Полное выражение волны: .

В области III существует только волна, распространяющаяся в положительном направлении. Тогда

. и описывают части функции – искомого решения в областях точки . Условия сшивания:

,

Откуда мы получаем

Область I , (в данном случае координату отсчитываем от точки ).

Аналогично условия сшивания:

,

…

Для вычисления коэффициента прозрачности барьера нужно знать , то есть коэффициент при падающей волне в области I.

Умножим первое уравнение системы на ik и сложим его со вторым

.

Таким образом,

.

Пусть проницаемость барьера мала и эффект тунеллирования слабый.

очень большая, тогда

, с

, так как внутри барьера ,

Поэтому при

.

ПРИМЕНЕНИЕ ФОРМУЛЫ БОЛЬЦМАНА И МЕТОДА НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА К ЭЛЕКТРОННОМУ ГАЗУ В КУБИЧЕСКОМ ЯЩИКЕ ДЛЯ ВЫВОДА РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЕРМИ–ДИРАКА.

“ Эл. газ” – самостоятельная физ. с/а свободных эл-ов в металле или п/проводнике.

Пусть эл. газ изолированный, имеет N эл-в и находится в куб. ящике объёма V с жёсткими не теплопроводными и не пропускающими эл-ны стенками. Рассмотрим макроскопически неравновесные сост-я этого эл. газа и по Больцману найдём среди них равновесное состояние. Каждое из сост-й эл-на характеризуется узлом простой куб. решётки, построенной в импульсном пр-ве одного эл-на с осями и куб. элементарной ячейкой.

Т .к. свободный эл-н ограничен в своём дв-и объёмом , то квантовые неопределенности его координат равны . Тогда по соотношению неопределенностей Тогда объём элементарной ячейки в импульсном пространстве равен . Хотя более строго .

Неравновесные сост-я характеризуем распределением эл-ов по “грубым ячейкам” –сферическим концентрическим слоям, соответствующим значениям эн-и эл-а, лежащим в . , где – масса, –импульс электрона. Грубая “-ячейка” имеет объём