Шпаргалка по теории ФОЭ

ФОРМУЛА ПЛАНКА. СОБСТВЕННЫЕ МОДЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В КУБИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ. ИХ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ.

М ода – стандартное частное решение.

, Э/м изл-е в полости характ. волновой ф-ей

(1)

Стенки полости непроницаемы (s-пов-ть куба)

Начальные условия: ;

По методу Фурье в виде суперпозиции:

Разделим на :

Равенство выполняется лишь, когда все функции равны константе

,

Поскольку , то

Рассмотрим ф-ю X, для остальных аналогично .

Это стандартное диф.ур. для гармонических колебаний, поэтому .

Найдем A и B: 1) 2)

Тогда . Найдем решение . – ур-е гармонических колебаний, общ.реш. которого имеет вид .

, где собственные частоты

Продолжим куб. полость паралл. ее переносами вдоль осей x, y, z в бесконечность. В данном случае рассматриваются с граничными условиями Борна-Кармана

ФОРМУЛА ПЛАНКА. СОБСТВЕННЫЕ МОДЫ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ В КУБИЧЕСКОЙ ПОЛОСТИ. ИХ ВОЛНОВЫЕ ФУНКЦИИ.

Тогда решением будет

Тогда для волновой функции мод в полости ,

Формулы Планка .

Ф ОРМУЛА ПЛАНКА. ИЗОБРАЖЕНИЕ МОД ТОЧКАМИ В ПРОСТРАНСТВЕ ВОЛНОВЫХ ВЕКТОРОВ. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МОД ПО ЧАСТОТАМ.

– пространство;

Пространство волновых векторов моды.

Объем одной ячейки

Найдем число мод, находящихся на интервале частот (задать или одно и то же, т.к. ).

Построим две сферы с центром в начале координат и радиусами и

Число мод в найдем, разделив шарового слоя на объем ячейки

Пусть число мод – , где - число мод на единицу объема полости, тогда

Так как колебания не продольные, а поперечные, то колебания происходят перпендикулярно распространению волны 2 направления волны:

Если рассматривать не стоячие, а бегущие волны, то волны рассматриваем во всех восьми квадрантах декартовой системы.

Тогда , то есть то же самое.

Формулы Планка .

ФОРМУЛА ПЛАНКА. СВЯЗЬ СПЕКТРАЛЬНОЙ ОБЪЕМНОЙ ПЛОТНОСТИ ЭНЕРГИИ И СПЕКТРАЛЬНОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ РАВНОВЕСНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ПОЛОСТИ.

Энергия равновесного излучения равномерно распределена по объему полости не зависит от , но неравномерно распределена по частотам

– спектральная объемная плотность;

; - объемная плотность;

- спектральная излучательная способность.

и для равновесн. тепл. э/м изл- зависят от температуры T. Равновесное тепловое излучение из интервала частот , находящееся в объеме , состоит из излучений, распространяющихся по всем направлениям. Т. К. излучение однородно и изотропно, то в разл. напр-ях распространяются одинаковые доли излучения.

– пов-ть дырочки, через которую идет излучение.

Р ассмотрим сначала только излучение из частотного интервала , которое подлетает к в направлении .

Строго говоря, мы рассматриваем излучение в бесконечно близких к направлениях, лежащих в бесконечно малом телесном угле .

Если проинтегрировать по углам , , то получим энергию всего излучения в частотном интервале , вылетающего из дырочки за время :

– доля спектральной объемной плотности энергии равновесного теплового излучения с частотами .

Объем косого цилиндр равен

Тогда

Формулы Планка .

ФОРМУЛА ПЛАНКА. ТЕОРЕМА О РАВНОМЕРНОМ РАСПРЕДЕЛЕНИИ ЭНЕРГИИ ПО СТЕПЕНЯМ СВОБОДЫ И ВЫВОД ЗАКОНА РЭЛЕЯ ДЖИНСА.

Теорема Больцмана

При равновесии на одну поступательную или вращательную степень свободы системы приходится энергия , а на одну колебательную степень свободы энергия , где - постоянная Больцмана.

Степенями свободы можно считать моды, причем каждая степень свободы колебательная. Тогда объемная плотность энергии классического равновесного теплового электромагнитного излучения, приходящаяся на интервал частот в единицу объема равна

, где – число мод в интервале , приходящихся на единицу объема полости.

Тогда

Так как , то спектральная излучательная способность абсолютно черного тела , закон Релея-Джинса. На больших частотах возникает "ультрафиолетовая катастрофа".

На самом деле , закон Стефана-Больцмана, где Стефана-Больцмана

Формула Планка отличается от закона Рэлея-Джинса тем, что вместо величины стоит

, при

При

, при

Отсюда

- формула Вина

Формулы Планка

.

ФОРМУЛА ПЛАНКА. КВАНТОВАНИЕ ЭНЕРГИЙ МОД. СРЕДНЕЕ ЗНАЧЕНИЕ ЭНЕРГИЙ КЛАССИЧЕСКОГО И КВАНТОВОГО ОСЦИЛЛЯТОРА В ТЕРМОСТАТЕ.

М ода равновесного э/м излучения в полости совершает гармонические колебания.

Осциллятор – одномерная колебательная система.

Мода подобна массе на пружинке.

Пусть каждая мода находится в своем термостате и она обменивается энергией с термостатом.

Эн-я моды в любой момент времени может принимать любое зн-е, но ср. эн-я будет определяться только температурой в термостате. Найдем вероятность моде иметь энергию, заключенную в бесконечно малом интервале . – искомая вероятность.

По формуле Больцмана для распределения молекул по скоростям и энергиям , где С – нормированный множитель, – множитель Больцмана

– условие нормировки

Вычислим среднюю энергию для классического осциллятора

Отдельная мода частоты состоит из фотонов с энергией

, где n – число фотонов Энергия моды принимает дискретные значения

Пусть – вероятность равновесной квантовой моде иметь энергию .

Из условия нормировки ;

Вычислим ср. эн-ю для квантовой э/м моды равновес изл-я

, для квантового

, для классического

Формулы Планка .

ВЫВОД ЗАКОНОВ СТЕФАНА БОЛЬЦМАНА И ВИНА ИЗ ФОРМУЛЫ ПЛАНКА.

Формулы Планка

.

Полная излучательная способность абсолютно черного тела

. Произведем замену переменных

тогда , где – константа

- закон Стефана-Больцмана

– излучательная способность, характеризуемая длиной волны.

, где (минус, т.к. изменение длины волны идет в обратном направлении)

Т огда

- длина волны максимума , причем

Найдем зависимость от температуры:

Найдем максимум функции

Найдем производную и приравняем к нулю

т.е. трансцендентное уравнение

, корень которого , так что для

, b – постоянная Вина

Закон Вина:

Значение длины волны , соответствующее максимуму излучательной способности, обратно пропорционально абсолютной температуре излучения.

О ТКРЫТИЕ ЭЛЕКТРОНА ДЖ.ДЖ. ТОМПСОНОМ. КАТОДНО-ЛУЧЕВАЯ ТРУБКА. ИЗМЕРЕНИЕ СКОРОСТИ И ОТНОШЕНИЯ ЗАРЯДА К МАССЕ ДЛЯ ЭЛЕКТРОНА В ПУЧКЕ.

Газоразрядная трубка

Из катода исходят прямолинейные лучи.

Эксперимент Томпсона

Э л-ы ускоряются эл. полем, созданным анодным напряжением . Скорость и связаны соотношением в виде закона сохранения энергии ; .

Подадим на плоский конденсатор напряжение ; расстояние между его пластинами , длина . Эл-ны движутся с большой скоростью , поэтому считаем, что отдельный эл-н с зарядом пролетает конденсатор за время , немного отклоняясь электрическим полем конденсатора. Отклонение по оси Y при вылете , где – ускорение, сообщенное электрону электрическим полем , тогда .

Найдем "магнитное отклонение" из-за катушек электромагнитов.

, где – индукция магнитного поля ( , где -напряженность, - число витков на единицу длины катушки).

Чтобы электрическое и магнитное отклонение скомпенсировали друг друга, надо , поэтому

– скорость отдельного электрона в пучке

Тогда , а потому , которое оказалось много большим, чем у известных тогда частиц новая частица электрон

ИЗМЕРЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ МАССЫ ЭЛЕКТРОНА ОТ СКОРОСТИ КАУФМАНОМ ДЛЯ БЕТА-ЛУЧЕЙ. УРАВНЕНИЕ МИНКОВСКОГО.

Р езерфорд. Эксперимент с расщеплением пучка радиоактивных лучей на три компоненты.

Происходит расщепление пучка, испускаемого источником, на -, -, - лучи.

Эксперимент Кауффмана доказывает, что масса электрона зависит от его скорости согласно знаменитой релятивистской формуле: , где – скорость электрона; – масса покоя электрона.

Кауфман провел эксперимент с отклонением -лучей с одновременно вкл. параллельными эл. и магн. полями, воспользовавшись Томпсоновским методом парабол.

; . Составим уравнение движения релятивистского электрона с зарядом , на который действует сила

.

Т.к. , то релятивистский уравнения движения электрона имеют следующий вид (уравнение Миньковского):

, , .

В момент эл-н имеет только большую z-составляющую скорости . и экспериментально не могут быть большими, поэтому , .

Тогда . Решим систему диф.ур. с нач. усл,: , , ,

Получим ; . Пусть расстояние между радиоактивным источником и экраном равно .

Тогда , координаты точки M

;

1. Нерелятивистский предел

ИЗМЕРЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ МАССЫ ЭЛЕКТРОНА ОТ СКОРОСТИ КАУФМАНОМ ДЛЯ БЕТА-ЛУЧЕЙ. УРАВНЕНИЕ МИНКОВСКОГО.

,

Тогда

– парабола

1. Релятивистский предел

,

–прямая

ИЗМЕРЕНИЕ ДЛИНЫ ВОЛНЫ ЭЛЕКТРОНА И СРАВНЕНИЕ ЕЕ С ДЕБРОЙЛЕВСКОГОЙ ДЛИНОЙ ВОЛНЫ В ЭКСПЕРИМЕНТЕ ДЭВИССОНА-ДЖЕРМЕРА. ОТРАЖЕНИЕ ЭЛЕКТРОННОГО ПУЧКА ОТ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ПЛОСКОСТЕЙ И УСЛОВИЕ ВУЛЬФА-БРЭГГИ. |OM| - величина интенсивности пучка, отраженного на угол . Резонанс – "эффект Дэвиссона и Джермера".

К убическая решетка Ni: