Переходные процессы 1 (Переходные процессы)

Домашнее задание № 3.1

1. Определить значения всех токов и напряжений, а также их производных для моментов времени , , . Результаты расчёта занести в таблицу 1.

Таблица 1.

1. Определить законы изменения во времени токов и напряжений, указанных на схеме стрелками. Построить временные зависимости рассчитанных токов и напряжений.

2. Определить длительность (время) переходного процесса.

Примечание. В соответствии с ГОСТ, в схемах указано начальное положение ключа.

1. Определение значений токов и напряжений непосредственно до коммутации.

До коммутации ключ замкнут. Поэтому по первому закону Кирхгофа:

По второму закону Кирхгофа имеем для левого контура:

Решая совместно эти два уравнения, получим:

Напряжение на конденсаторе до коммутации равняется напряжению источника ЭДС:

Напряжение на индуктивности до коммутации равняется нулю , так как сопротивление индуктивности постоянному току равняется нулю. Напряжения на резисторах равняются:

До коммутации имеет место установившийся процесс, в котором и , поэтому:

1. Определение токов и напряжений непосредственно после коммутации.

После коммутации ключ разомкнут. Согласно законам коммутации ток через индуктивность и напряжение на конденсаторе не могут измениться скачком, поэтому сразу после коммутации они равняются их значениям до неё:

Согласно первому закону Кирхгофа, имеем:

По второму закону Кирхгофа для контура, образованного первой и второй ветвями:

Откуда:

Но так как , тогда:

Так как сразу после коммутации ток через конденсатор равняется , тогда

Так как токи не изменились сразу после коммутации, то напряжения на резисторах такие же:

1. Установившийся режим после коммутации ( ).

В установившемся режиме сопротивление индуктивности постоянному току равняется нулю (поэтому ), а сопротивление конденсатора постоянному току равняется бесконечности, поэтому ток в первой ветви равен нулю:

Тогда ток во второй ветви равняется току источника:

И напряжение на резисторе равняется нулю:

Напряжение на резисторе равняется:

_{Для левого контура по второму закону Кирхгофа и установившегося процесса имеем:}

_{Но так как ток , то:}

_{Составим таблицу:}

По законам Кирхгофа для послекоммутационного режима:

Для свободных составляющих токов:

Поэтому характеристическое уравнение имеет вид:

Или после нахождения определителя и приведения к общему знаменателю:

Его корни равняются:

Подставляя числовые значения, получим:

Корни характеристического уравнения комплексно-сопряжённые вида , поэтому свободная составляющая тока имеют вид:

_{Его производная:}

Ток равняется сумме свободной и принуждённой составляющих:

Принуждённая составляющая обусловлена источниками в схеме, поэтому принуждённая составляющая токов равняется:

Найдём значения свободной составляющей тока в момент после коммутации :

_{Таким образом, получим первое уравнения для нахождения и :}

Первая производная от свободной составляющей тока , учитывая, что принуждённая составляющая тока , в момент времени равняется:

Таким образом, получим второе уравнение:

Решим совместно систему уравнений:

чтобы найти и .

Отсюда получим:

И .

Значит, свободная составляющая тока равняется:

Полный ток равняется:

Напряжение на конденсаторе тоже состоит из свободной и принуждённой составляющей:

Свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид:

Найдём значение свободной составляющей напряжения на конденсаторе в момент времени :

Таким образом:

Так как производная от принуждённой составляющей напряжения на конденсаторе по времени равна нулю (так как ), первая производная от свободной составляющей в момент времени равняется:

Первая производная имеет вид:

Таким образом, воспользовавшись начальными условиями, получим 2 уравнения:

Из этих уравнений найдём:

Таким образом, свободная составляющая напряжения на конденсаторе имеет вид:

И напряжение на конденсаторе:

График :

Найдём ток :

График :

Постоянная времени цепи:

Практическая длительность переходного процесса , то есть порядка .

Ответ:

Длительность переходного процесса , то есть порядка