Несинусоидальные токи

Задача 7.7

Схема питается от источника периодического несинусоидального тока частотой , изменяющегося, как показано на рисунке. Ограничившись тремя составляющими ряда Фурье в выражении для , найти токи в ветвях схемы, активную и полную мощности, развиваемые источником. Построить график ; ; ; ; .

Из графика следует:

Разложим эту функцию в ряд Фурье:

Коэффициент равняется:

Коэффициенты равняются:

Коэффициенты равняются:

Для получим следующие значения:

Таким образом, рассматривая только три первые гармоники, можем представить ток источника в виде:

Теперь можем приступить к расчету токов в ветвях цепи отдельно для постоянной составляющей и для каждой гармоники. Примем потенциал узла b равным нулю .

1. Постоянная составляющая.

Для постоянной составляющей сопротивление ветви с конденсатором равняется бесконечности, а сопротивление ветви с индуктивностью нулю, поэтому для постоянной составляющей ток через резистор и конденсатор равны нулю , а постоянная составляющая тока через индуктивность равняется постоянной составляющей тока источника: . Постоянная составляющая напряжения на индуктивности равняется нулю: .

2. Первая гармоника.

Для первой гармоники реактивные сопротивления равняются , . Комплекс действующего значения тока первой гармоники источника имеет вид: . Так как составим уравнение для узла a:

Подставляя числовые значения и учитывая, что , получим:

Найдём токи в ветвях для первой гармоники:

Соответственно:

3. Вторая гармоника.

Для второй гармоники реактивные сопротивления равняются , . Комплекс действующего значения тока второй гармоники источника имеет вид: . Так как составим уравнение для узла a:

Подставляя числовые значения и учитывая, что , получим:

Найдём токи в ветвях для второй гармоники:

Соответственно:

4. Третья гармоника.

Для третьей гармоники реактивные сопротивления равняются , . Комплекс действующего значения тока второй гармоники источника имеет вид: . Так как составим уравнение для узла a:

Подставляя числовые значения и учитывая, что , получим:

Найдём токи в ветвях для второй гармоники:

Соответственно:

Таким образом, ток через индуктивность равняется:

Построим график :

Токи в остальных ветвях схемы:

5. Активная и полная мощность, развиваемые источником.

Несинусоидальный ток источника в разложении в ряд Фурье, ограниченный третьей гармоникой, как было найдено ранее, имеет следующий вид:

_{Поэтому действующие значения тока источника для постоянной составляющей и трёх первых гармоник равняются:}

_{Постоянная составляющая напряжения на источнике тока равняется нулю, так как сопротивление индуктивности для первой гармоники равняется нулю:}

_{Найдём значения трёх первых гармоник напряжения на источнике тока, учитывая, что потенциал узла b равняется нулю:}

_{Теперь мы можем определить активную мощность, развиваемую источником:}

_{Действующее значение тока и напряжения на зажимах источника тока:}

_{Полная мощность, развиваемая источником:}

_Ответ:

_{Токи в ветвях цепи:}

_{Активная мощность, развиваемая источником:}

_{Полная мощность, развиваемая источником:}