Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»

(МГТУ им. Н.Э.Баумана)

________________________________________________________________________

Факультет

«Специальное машиностроение»

Домашнее задание по дисциплине

«Теория вероятностей и математическая статистика»

Вариант № 9

ИСПОЛНИТЕЛЬ

студент гр. СМ 9-72 Кадомцев Сергей

1	2	3	4	5	6

Москва 2019

Задача 1.

Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в табличном виде:

pij		xi
		0	3	4
yj	0	1/9	1/9	1/9
	2	0	1/6	1/6
	5	0	0	1/3

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

Решение:
Условие нормировки :

1/9+1/9+1/9+1/6+1/6+1/3=1/3+1/3+1/3=1 – выполняется.

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

Сложим вероятности по столбцам, получим закон распределения Х:

X	0	3	5
рX	1/9	1/9+1/6=5/18	1/9+1/6+1/3=11/18

Сложим вероятности по строкам, получим закон распределения Y:

Y	0	3	4
рY	3/9	2/6	1/3

Математическое ожидание Х: .

Математическое ожидание Y: .

Центр рассеивания случайного вектора (X, Y): .

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

Найдем закон распределения X при Y=2.

Условные вероятности X: .

X	0	2	5
p(X/Y=2)	0	1/2	1/2

.

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Ковариация X и Y:

Дисперсии X и Y по одномерным законам распределения:

Ковариационная матрица:

.

Коэффициент корреляции: .

Корреляционная матрица: .

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1) Случайная величина X+Y принимает значения с вероятностями .

xi	0			3			4
yj	0	2	5	0	2	5	0	2	5
xi +y j	0	2	5	3	5	7	4	6	9
p i j	1/9	0	0	1/9	1/6	0	1/9	1/6	1/3

Если вероятность 0, то исключаем значение, а повторяющиеся значения объединяем, складывая их вероятности.
Закон распределения X+Y:

X+Y	0	3	4	5	6	9
pX+Y	1/9	1/9	1/9	1/6	1/6	1/3

Проверка: .

2) Случайная величина XY принимает значения с вероятностями .

xi	0			3			4
yj	0	2	5	0	2	5	0	2	5
xi  y j	0	0	0	0	6	15	0	8	20
p i j	1/9	0	0	1/9	1/6	0	1/9	1/6	1/3

Если вероятность 0, то исключаем значение, а повторяющиеся значения объединяем, складывая их вероятности.

Закон распределения XY:

XY	0	6	8	20
pX+Y	1/9+1/9+1/9=1/3	1/6	1/6	1/3

Проверка: .

Задача 2.

Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют совместное равномерное распределение внутри области G = {(x, y) | 0 x  5, –5  y  2}.

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

Решение:

1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

Функция плотности совместного равномерного распределения в области G постоянна и равна: .

Одномерные плотности вероятности распределения X и Y:

Так как , X и Y независимы.

Случайные величины X и Y также распределены равномерно. Математические ожидания:

Проверка по формулам для равномерного распределения:

Центр рассеивания случайного вектора: (X, Y) .

2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

Условная плотность вероятности .

Плотность вероятности X при Y=2 .

Условное математическое ожидание:

Условная дисперсия:

.

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Ковариация X и Y:

Дисперсии X и Y по одномерным законам распределения:

Проверка по формулам для равномерного распределения:

Ковариационная матрица:

.

Коэффициент корреляции: .

Корреляционная матрица .

4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.

1) .

Вероятность того, что X+Y<s - отношение площади S₀ части прямоугольника G, которая лежит ниже прямой , к площади всего прямоугольника (35).

Из графиков:

1) при ,

2) при ,

3) при ,

4) при ,

5) при .

.

Плотность вероятности:

.

2) .

Вероятность того, что X·Y<z, равна отношению площади S₀ той части прямоугольника, которая лежит ниже гиперболы в 1-й и 4- четверти и выше во 2-й и 3-й четверти, к площади всего прямоугольника, равной 35.

Из графиков:

1) при ,

2) при ,

3) при

4) при .

.

Плотность вероятности:

.

Задача 3.

Пусть время до отказа рассматриваемого изделия подчиняется экспоненциальному закону с параметром , где  — неизвестный параметр. По результатам испытаний образцов изделий получена выборка:

74.87 с, 70.8 с, 292.84 с, 49.17 с, 46.41 с, 107.14 с, 468.23 с, 197.73 с.

Найти оценку параметра , используя различные способы.

Решение:

Плотность вероятности экспоненциального закона распределения , λ – неизвестный параметр.

1) Метод моментов

Объем выборки .

Выборочная средняя: -

является точечной оценкой математического ожидания.

Математическое ожидание экспоненциального распределения выразим через его параметр.

. Приравняв математическое ожидание и его выборочную оценке, получим оценку неизвестного параметра:

.

2) Метод наибольшего правдоподобия

Функция правдоподобия ,

t _i – варианты выборки, .

.