Задачи 1-4 вариант 7

Задача 1. В урне “A” белых и “B” черных шаров. Из урны вынимают 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара будут белыми. Рассмотреть два случая:

1. Первый шар возвращается в урну;

2. Первый шар не возвращается в урну;

Решение:

A₁={первый шар белый}

A₂={второй шар белый}

1. Первый шар возвращается в урну:

1. Первый шар не возвращается в урну:

Ответ: 1. ; 2. .

Задача 2.

Решение:

A={изделие прошедшие испытание стандартно}

Введем гипотезы:

H₀={изделие бракованно},

H₁={изделие стандартно}.

,

т.к.

.

Условные вероятности:

По формуле полной вероятности:

Ответ: .

Задача 3. Закон распределения измеренного значения радиуса круга – нормальный с математическим ожиданием m=5.0 и дисперсией ²=0.25. Найти закон распределения площади круга и его среднюю площадь.

Решение:

Случайная величина X – радиус круга распределена по закону N(5;0.5),

С ней связана случайная величина - площадь круга.

Функция принимает только неотрицательные значения. Поэтому случайная величина

не может принимать отрицательные значения и, следовательно:

По физическому смыслу радиус не может быть отрицательным, поэтому из двух решений уравнения при рассмотрим только одно:

Подставляя и плотность распределения N(5;0.5) в формулу получим:

Определим математическое ожидание данной случайной величины

Ответ: .

Примечание (А. Ю.). Относительно правильности решения этой задачи у меня БООЛЬШИЕ СОМНЕНИЯ.

Задача 4. Математическое ожидание суточного расхода воды в лаборатории составляет 10 м³. Оценить вероятность того, что в некоторый день расход воды будет находиться в интервале 8-12 м³, если среднеквадратичное отклонение суточного расхода составляет 1 м³.

Решение:

По второму неравенству Чебышева

В нашем случае MX=1, b=2, =1. Отсюда

Ответ: