Вариант 5 (все задачи) (Задачи 1-6 вариант 5)
Описание файла
Файл "Вариант 5 (все задачи)" внутри архива находится в папке "Задачи 1-6 вариант 5". Документ из архива "Задачи 1-6 вариант 5", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из , которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "теория вероятности и математическая статистика" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Вариант 5 (все задачи)"
Текст из документа "Вариант 5 (все задачи)"
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана»
(МГТУ им. Н.Э.Баумана)
________________________________________________________________________
Факультет
«Специальное машиностроение»
Домашнее задание по дисциплине
«Теория вероятностей и математическая статистика»
Вариант № 5
ИСПОЛНИТЕЛЬ
студент гр. СМ 10-71 Жарков Михаил
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
Москва 2019
Задача 1.
Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в табличном виде:
| pij | xi | |||
| 1 | 3 | 5 | ||
| yj | 0 | 1/9 | 1/9 | 1/9 |
| 3 | 0 | 1/6 | 1/6 | |
| 5 | 0 | 0 | 1/3 | |
-
Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).
-
Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 3] и дисперсию D[X/Y = 3].
-
Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
-
Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.
Решение
1/9+1/9+1/9+1/6+1/6+1/3=1/3+1/3+1/3=1.
Условия нормировки 
выполняется.
1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).
Сложим вероятности по столбцам, получим закон распределения Х:
| X | 1 | 3 | 5 |
| рX | 1/9 | 1/9+1/6=5/18 | 1/9+1/6+1/3=11/18 |
Сложим вероятности по строкам, получим закон распределения Y:
| Y | 0 | 3 | 5 |
| рY | 3/9 | 2/6 | 1/3 |
Математическое ожидание Х:
Математическое ожидание Y:
Центр рассеивания случайного вектора (X, Y) M[x,y]=(M[x],М[y])=(4,
).
2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 3] и дисперсию D[X/Y = 3].
Найдем закон распределения X при условии Y=3.
Условные вероятности X 
.
| X | 1 | 3 | 5 |
| p(X/Y=3) | 0 | 1/2 | 1/2 |
3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
Найдем ковариацию X и Y.
Найдем дисперсии X и Y по одномерным законам распределения.
Ковариационная матрица
Коэффициент корреляции
Корреляционная матрица 
.
4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.
1) Случайная величина X+Y принимает значения 
с вероятностями 
.
| xi | 1 | 3 | 5 | |||||||
| yj | 0 | 3 | 5 | 0 | 3 | 5 | 0 | 3 | 5 | |
| xi +y j | 1 | 4 | 6 | 3 | 6 | 8 | 5 | 8 | 10 | |
| p i j | 1/9 | 0 | 0 | 1/9 | 1/6 | 0 | 1/9 | 1/6 | 1/3 | |
Объединяем повторяющиеся значения (если они есть), суммируя их вероятности. Значения, вероятности которых равны 0, исключаем.
Закон распределения X+Y:
| X+Y | 1 | 3 | 5 | 6 | 8 | 10 |
| pX+Y | 1/9 | 1/9 | 1/9 | 1/6 | 1/6 | 1/3 |
.
2) Случайная величина XY принимает значения 
с вероятностями .
| xi | 1 | 3 | 5 | ||||||
| yj | 0 | 3 | 5 | 0 | 3 | 5 | 0 | 3 | 5 |
| xi y j | 0 | 3 | 5 | 0 | 9 | 15 | 0 | 15 | 25 |
| p i j | 1/9 | 0 | 0 | 1/9 | 1/6 | 0 | 1/9 | 1/6 | 1/3 |
Объединяем повторяющиеся значения (если они есть), суммируя их вероятности. Значения, вероятности которых равны 0, исключаем.
Закон распределения XY:
| XY | 0 | 9 | 15 | 25 |
| pX+Y | 1/3 | 1/6 | 1/6 | 1/3 |
.
Задача 2.
Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют совместное равномерное распределение внутри области G = {(x, y) | –0 x 5, -5y3}.
-
Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).
-
Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].
-
Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
-
Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.
1. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).
Функция плотности совместного равномерного распределения в области G постоянна и равна
Одномерные плотности вероятности распределения X и Y
Так как 
Случайные величины X и Y также распределены равномерно. Математические ожидания равны
То же по формулам для равномерного распределения:
Центр рассеивания случайного вектора (X, Y) M[X,Y] = (M[X],M[Y]) = (2,5;-1).
2. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 0] и дисперсию D[X/Y = 0].
Условная плотность вероятности 
Плотность вероятности X при условии Y=0: x(x/y=0) = 1/5.
Условное математическое ожидание (так как X и Y - независимы):
условная дисперсия
3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.
Найдем ковариацию X и Y:
, так как Х и Y - независимы
Найдем дисперсии X и Y по одномерным законам распределения.
;
;
То же по формулам для равномерного распределения:
Ковариационная матрица 
.
Коэффициент корреляции 
.
Корреляционная матрица 
.
4. Установить закон распределения случайных величин: S = X + Y и Z = XY.
1) По определению функции р
аспределения, 
.
Вероятность того, что X+Y<s, равна отношению площади S0 той части прямоугольника G, которая лежит ниже прямой 
, к площади всего прямоугольника, равной 40.
Из рисунков видим, что
при s-5: S0=0; при -5<s0: 
при 0<s3: S0=12,5+5s;
при 3<s8: 
при s>8: S0=40.
Плотность вероятности
2) 
.
Вероятность того, что X·Y<z, равна отношению площади S0 той части прямоугольника, которая в 1-й и 4-й четвертях плоскости лежит ниже гиперболы 
, к площади всего прямоугольника, равной 40.
Из рисунков видим, что
при z -25: 
,
при -25< z 0: 
при 0< z 15:
,
при z >15: S0=40.
Плотность вероятности
Задача 3.
Пусть время до отказа рассматриваемого изделия подчиняется экспоненциальному закону с параметром , где — неизвестный параметр. По результатам испытаний образцов изделий получена выборка:
122.75 с, 74.87 с, 140.06 с, 48.3 с, 15.32 с, 250.71 с, 37.37 с, 197.73 с.
Найти оценку параметра , используя различные способы.
Решение:
Плотность вероятности экспоненциального закона распределения 
, λ – неизвестный параметр.
