КИ лекция 9 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 9. Циркуляция векторного поля. Формула Грина для односвязных и многосвязных областей. Потенциальное векторное поле. Необходимые и достаточные условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования на плоскости. Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала. Формула Ньютона-Лейбница. Два способа нахождения функции двух переменных по ее полному дифференциалу.

ОЛ-1, гл. 5, 7; ОЛ-2, гл. 15; ДЛ-2, т. 2, гл. 6.

Циркуляция векторного поля. Если путь в криволинейном интеграле второго рода представляет собой замкнутый контур, то он называется циркуляцией векторного поля по данному контуру и обозначается интегралом с кружочком:

Теорема Грина (Формула Грина)

Определение. Множество D плоскости (или пространства) называется связным (точнее, линейно связным), если любые две его точки А и B можно соединить непрерывной линией, целиком находящейся во множестве D. Плоское множество D называется односвязным, если оно связно, и любой замкнутый контур внутри него ограничивает некоторое множество, целиком лежащее в области D.

Т еорема. Пусть на плоскости дана односвязная замкнутая область D, ограниченная замкнутым кусочно-гладким ориентированным контуром Γ (символически ), причем при обходе контура область остается слева (т.е. обход контура производится против часовой стрелки), Пусть, далее, компоненты P(x, y) и Q(x, y) плоского векторного поля G(x, y) = P(x, y)i + Q(x, y)j и их частные производные по у и по х, соответственно, непрерывны в области D. Тогда справедлива формула (формула Грина):

Доказательство. Пусть в плоскости Oxy дана ограниченная замкнутым контуром L правильная в обоих направлениях область D. Пусть эта область ограничена снизу кривой у = y₁(х), а сверху кривой у = у₂(х), у₁(х) ≤ у₂(х) (а ≤ х ≤ b). И пусть слева область D ограничена кривой x = x₁(y), а справа кривой x = x₂(y) (а ≤ х ≤ b).

В совокупности обе эти кривые (у = y₁(х) и у = y₂(х)) составляют замкнутый контур L. Пусть в области D заданы непрерывные функции P(х, у) и Q(х, у), имеющие непрерывные частные производные. Рассмотрим интеграл

Заметим, что , где −L₂ − верхняя часть контура L, и что , где L₁ − нижняя часть контура L.

Таким образом

Аналогичные рассуждения можно провести для функции Q:

Если граница области D содержит горизонтальные или вертикальные участки, то криволинейные интегралы по этим участкам равны нулю (так как на них dy или dx равны нулю). Если область D неправильная, то ее можно разбить на конечное число правильных областей, к каждой из которых можно применить доказанное утверждение. А общая граница всех правильных областей будет содержать как контур L, так и "разрезы". Но "разрез" будем проходить два раза в противоположных направлениях, то есть вклада в общую сумму он давать не будет.

П лоскую область, не являющуюся односвязной, называют многосвязной областью. Рассмотрим частный случай многосвязной области, когда граница этой области состоит из конечного числа попарно не пересекающихся контуров. В этом случае один контур является внешним, а остальные контуры L₁, ..., L_n − внутренними (они ограничивают отверстия в области). Отметим, что положительным направлением обхода внешнего контура следует считать движение против часовой стрелки, а положительным направлением обхода внутренних контуров − движение по часовой стрелке, поскольку при таком движении область D, ограниченная этими контурами, остается все время слева. Формула Грина справедлива и для многосвязной области. Ее можно записать в виде

Одно из возможных применений формулы Грина − вычисление площади плоской фигуры, ограниченной кусочно гладким контуром. Площадь замкнутой области D равна двойному интегралу с областью интегрирования D и подынтегральной функцией, тождественно равной единице. Подобрав функции Р(х, у) и Q(x, y) так, что в D, мы с помощью формулы Грина можем вычислить площадь через криволинейный интеграл. Подбирать функции Р(х, у) и Q(x, y) можно различными способами, но, как правило, используют самые простые:

, ,

Определение. Если для векторного поля G существует функция U, такая что выполняются равенства

,

то поле G называют потенциальным, а функцию U − потенциалом векторного поля G.

Пусть функции Р(х, у) и Q(x, y) непрерывны вместе со своими частными производными в некоторой односвязной области D в плоскости хОу. Тогда следующие четыре условия эквивалентны:

1) выражение P(x, y)dx + Q(x, y)dy является в области D полным дифференциалом некоторой функции U(x, y);

2) всюду в области D верно равенство

3) для любого кусочно гладкого контура L, целиком лежащего в области D, верно равенство

(1)

4) для любых двух точек A и B в области D криволинейный интеграл второго рода

не зависит в этой области от пути интегрирования.

Доказательство. Докажем эту теорему „вкруговую".

. Пусть

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = dU(x, y)

Тогда имеем

и

Следовательно,

и

В силу непрерывности частных производных и правые части последних равенств равны между собой, так как непрерывные смешанные производные не зависят от порядка дифференцирования. Поэтому равны и левые части этих равенств.

. Пусть L − произвольный кусочно гладкий контур, целиком лежащий в области D. Согласно формуле Грина для односвязной области

так как в силу второго условия теоремы подынтегральная функция в двойном интеграле тождественно равна нулю.

Пусть равенство (1) выполнено для любого контура L, целиком лежащего в области D. Выберем произвольные точки А и В в D и соединим их двумя различными кривыми АМ₁В и АМ₂В, целиком лежащими в D. Из этих кривых можно составить контур L. В силу предположения и свойств криволинейного интеграла второго рода имеем

Так как при изменении направления обхода кривой криволинейный интеграл второго рода меняет знак, из последнего равенства следует, что

Поскольку точки A и В, а также две связывающие их кривые были выбраны произвольно, заключаем, что криволинейный интеграл в области D не зависит от пути интегрирования.

Пусть выполнено четвертое условие. Зафиксируем точку . Тогда криволинейный интеграл от точки А до произвольной точки М(х, у) определяет в области D функцию

Выберем δ > 0 настолько малое, что δ-окрестность точки М целиком попадает в область D. Для произвольного приращения Δх, удо­влетворяющего неравенству |Δх| < δ из определения функции U(x, y) и свойств криволинейного интеграла второго рода, имеем

причем в качестве пути интегрирования в последнем интеграле можно взять горизонтальный отрезок, соединяющий точки М(х, у) и М₁(х + Δх, у). В этом случае dy = 0, переменное у имеет постоянное значение, и мы получаем

где последний интеграл есть определенный интеграл по отрезку [х, х + Δх]. Переходя к пределу в интеграле с переменным верхним пределом, получим . Аналогичным образом, используя приращение Δу по переменному у, найдем, что .

Формула Ньютона−Лейбница. Для потенциального поля G выполняется равенство

Формула для вычисления криволинейного интеграла, независящего от пути интегрирования

Нахождение функции по ее полному дифференциалу. Если dU(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy, то

Полученные выше формулы справедливы для односвязных областей и потенциального поля G. В общем случае n-связной области при обходе в положительном направлении каждого из n отверстий значение интеграла криволинейного интеграла увеличивается на соответствующую циклическую постоянную, а при обходе в отрицательном направлении − уменьшается на ту же циклическую постоянную

где k_i − разность числа обходов контуром L отверстия с циклической постоянной σ_i в положительном и отрицательном направлениях, σ_i − циклическая постоянная i-го отверстия.