КИ лекция 4 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 4. Определение тройного интеграла и его свойства. Теорема существования (формулировка). Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат.

ОЛ-1, гл. 2; ОЛ-2, гл. 14; ДЛ-2, т. 2, гл. 6.

Тело называют кубируемым, если точная верхняя грань V* множества объемов всех включенных в это тело многогранников равна точной нижней грани V_* множества объемов всех многогранников, включающих в себя данное тело, причем число называют объемом тела. Для кубируемости тела необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашлись такие два многогранника Q₁ и Q₂ с объемами V₁ и V₂ соответственно, что и V₁ − V₂ < ε. Далее под телом будем понимать ограниченную замкнутую область в пространстве, а кубируемое тело будем также называть кубируемой замкнутой областью.

Будем говорить, что некоторое множество в R³, в частности кривая или поверхность, является множеством объема нуль, если его можно заключить внутрь многогранника сколь угодно малого объема. Используя это понятие, приведенный выше критерий кубируемости тела можно сформулировать иначе: для кубируемости ограниченной замкнутой области необходимо и достаточно, чтобы ее граница имела объем нуль.

Важным классом кубируемых замкнутых областей являются те, которые ограничены конечным числом гладких поверхностей. Множество точек, принадлежащих таким поверхностям, имеет объем нуль. Напомним, что поверхность называют гладкой, если в каждой ее точке определен единичный вектор нормали к поверхности, непрерывно меняющийся от точки к точке. Далее будем рассматривать только гладкие и кусочно гладкие поверхности. Отметим, что для объема пространственной замкнутой области (как и для площади плоской замкнутой области) справедливы свойства неотрицательности, монотонности, аддитивности я инвариантности.

Пусть в пространстве задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S (такая область будет кубируемой). Пусть в области V и на ее границе определена некоторая функция f(x y, z), где x, y, z − прямоугольные координаты точки области.

Выберем произвольное разбиение области V на области V_i (обозначая символом V_i не только саму область, но и ее объем):

В пределах каждой частичной области V_i выберем произвольную точку P_i и обозначим через f(P_i) значение функции f в этой точке. Составим интегральную сумму вида

(1)

и будем неограниченно увеличивать число малых областей V_i так, чтобы наибольший диаметр diam V_i стремился к нулю (Диаметром области называется максимальное расстояние между точками, лежащими на границе области).

Определение. Если существует предел интегральных сумм вида (1) при стремлении диаметра разбиения к нулю, и он не зависит от выбора разбиения области V на V_i, то этот предел называют тройным интегралом от функции f по области V, и обозначают его

Свойства двойных интегралов.

(а) Линейность.

(Имеется в виду, что если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл и в левой части).

(б) Аддитивность. Если область V есть объединение областей V₁ и V₂, пересекающихся только по своей обшей границе, то

(Аналогично, если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл и в левой части).

(в) Интеграл от константы. Двойной интеграл от константы по области V равен произведению этой константы на площадь области V , если C = const.

(г) Переход к неравенству. Если для всех точек верно неравенство f(x, y) ≤ g(x, y), то

(л) Теорема об оценке. Если числа m₁ и m₂ таковы, что для всех точек верны неравенства m₁ ≤ f(x, y, z) ≤ m₂, то

Определение. Средним значением функции f(x, y, z) на множестве V называется число

(ж) Теорема о среднем. Если множество V замкнуто, ограниченно и связно, а функция f(x, y, z) непрерывна на множестве D, то найдется точка такая, что , т.е. такая, что

Теорема. Если функция f(x y, z) непрерывна в кубируемой области V, то она интегрируема в этой области.

(Далее будем рассматривать только непрерывные функции).

Определение. Область V − правильная в направлении оси Oz, если:

1) всякая прямая, параллельная оси Oz, проведенная через внутреннюю (т. е. не лежащую на границе S) точку области V, пересекает поверхность S в двух точках.

2) вся область V проектируется на плоскость Оху в правильную (двумерную) область D;

3) всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной любой из координатных плоскостей (Oxy, Oxz, Oyz), также обладает свойствами 1) и 2).

П усть поверхность, ограничивающая область V снизу, имеет уравнение , а поверхность, ограничивающая эту область сверху, имеет уравнение .

Введем понятие трехкратного интеграла I_V по области V от функции трех переменных f(x, у, z), определенной и непрерывной в области V. Предположим, что область D − проекция области V на плоскость Оху − ограничена линиями

.

Определение. Тогда трехкратный интеграл от функции f(x, у, z) по области V определяется так:

Свойства трехкратного интеграла

Свойство 1. Если область V разбить на две области V₁ и V₂ плоскостью, параллельной какой-либо из плоскостей координат, то трехкратный интеграл по области V равен сумме трехкратных интегралов по областям V₁ и V₂.

Следствие. При любом разбиении области V на конечное число областей V₁, ..., V_n плоскостями, параллельными координатным плоскостям, имеет место равенство .

Свойство 2 (теорема об оценке трехкратного интеграла). Если m и М − соответственно наименьшее и наибольшее значения функции f(x, у, z) в области V, то имеет место неравенство , где V есть объем данной области, а I_V − трехкратный интеграл от функции f(x, у, z) по области V.

Свойство 3 (теорема о среднем). Трехкратный интеграл I_V от непрерывной функции f(x, у, z) по области V равен произведению его объема V на значение функции в некоторой точке Р области V, т. е. .

Теорема. Тройной интеграл от функции f(x, у, z) по правильной области V равен трехкратному интегралу по той же области, т. е.