КИ лекция 14 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 14. Интегральный признак Коши. Ряды Дирихле. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Теорема о связи между абсолютной сходимостью и сходимостью числового ряда. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница. Оценка суммы и остатка ряда.

ОЛ-2, гл. 16; ДЛ-1, ч. 1, гл. 13; ДЛ-2, т. 1, гл. 4.

Как и в предыдущей лекции рассматривается ряд

(1)

Интегральный признак Коши. Если a_n = f(n), где функция f(х) положительна, монотонно убывает и непрерывна при x ≥ a ≥ 1, то ряд (1) и интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Доказательство. Пусть a = 1. Изобразим члены ряда геометрически, откладывая по оси абсцисс номера 1, 2, 3, ..., n, п + 1, ... членов ряда, а по оси ординат − соответствующие значения членов ряда a₁, a₂, ..., a_n, ... (рис. 1a).

Рис. 1. Иллюстрация доказательства интегрального признака Коши.

Построим на том же чертеже график непрерывной невозрастающей функции y = f(x).

Из рис. 1а видно, что сумма площадей построенных прямоугольников равна сумме s_n первых п членов ряда. С другой стороны, ступенчатая фигура, образованная этими прямоугольниками, заключает область, ограниченную кривой y = f(x) и прямыми х = 1, x = n + 1, y = 0; площадь этой области равна . Следовательно,

(2)

Из рис. 1b получаем, что

1) предположим, что интеграл сходится, тогда

т. е. частичная сумма s_n остается ограниченной при всех значениях п. Но при увеличении п она возрастает, так как все члены a_п положительны. Следовательно, s_n при имеет конечный предел, т. е. ряд сходится.

2) Пусть теперь . Это значит, что неограниченно возрастает при возрастании n. Но тогда в силу неравенства (2) s_n также неограниченно возрастает при возрастании n, т. е. ряд расходится.

Доказанная теорема остается справедливой, если a > 1 в силу теоремы 1 из предыдущей лекции.

С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле сходится, если p > 1, и расходится, если p ≤ 1. Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле.

В случае p > 1 будет , т.е. интеграл конечен и, следовательно, ряд сходится;

в случае p < 1 будет − интеграл бесконечен, ряд расходится;

в случае p = 1 будет − интеграл бесконечен, ряд расходится.

Знакопеременные ряды. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные. Знакочередующиеся ряды − частный случай знакопеременных.

Теорема. Если ряд

(3)

составленный из абсолютных величин членов ряда (1), сходится, то ряд (1) также сходится и называется абсолютно сходящимся.

Доказательство. Пусть s_n и σ_n − суммы n первых членов рядов (1) и (3). Пусть далее − сумма всех положительных, а − сумма абсолютных величин всех отрицательных членов среди первых n членов данного ряда; тогда и

По условию, σ_n имеет предел σ; и − положительные возрастающие величины, меньшие σ. Следовательно, они имеют пределы и . Из соотношения следует, что и s_n имеет предел и этот предел равен , т. е. знакопеременный ряд (1) сходится.

Определение. Если же ряд (1) сходится, а ряд (3) расходится, то ряд (1) называется условно (неабсолютно) сходящимся.

В общем случае из расходимости ряда (3) не следует расходимость ряда (1). Но если или , то расходится не только ряд (3), но и ряд (1).

Теорема. Если ряд сходится абсолютно, то его сумма не изменяется при перестановке членов ряда.

Теорема. Если ряд сходится условно, то, какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А. Более того, можно так переставить члены условно сходящегося ряда, чтобы ряд, полученный после перестановки, оказался расходящимся.

Признак Лейбница. Если для знакочередующегося ряда

(b_n ≥ 0) (4)

выполнены условия: (1) b₁ ≥ b₂ ≥ b₃ ≥ ...; и (2) , то ряд сходится.

Доказательство. Будем считать, что b₁ ≠ 0. Рассмотрим сумму n = 2т первых членов ряда (4):

Из условия (1) следует, что выражение в каждой скобке неотрицательно. Следовательно, сумма s_2m положительна, s_2m > 0, и не убывает с возрастанием m. Запишем теперь эту же сумму так:

В силу условия (1) каждая из скобок положительна. Поэтому в результате вычитания этих скобок из b₁ мы получим число, меньшее b₁, т. е. . Таким образом, мы установили, что при возрастании m не убывает и ограничена сверху. Отсюда следует, что имеет предел s: , причем .

Однако сходимость ряда (4) еще не доказана; мы доказали только, что последовательность «четных» частичных сумм имеет пределом число s. Докажем теперь, что «нечетные» частичные суммы также стремятся к пределу s.

Рассмотрим для этого сумму n = 2m + 1 первых членов ряда (4):

Так как по условию (2) , то, следовательно,

Оценка суммы ряда (4). Сумма ряда (4) не превосходит b₁ (b₁ ≠ 0).

Оценка остатка ряда (4). Для остатка ряда справедлива оценка |R_n| ≤ b_n + 1.

Примечание. Для сходимости знакочередующегося ряда не достаточно, чтобы его общий член стремился к нулю. Признак Лейбница утверждает лишь, что знакочередующийся ряд сходится, если абсолютная величина общего члена ряда стремится к нулю монотонно. Так, например, ряд

расходится, несмотря на то, что его общий член стремится к нулю (монотонность изменения абсолютной величины общего члена здесь, конечно, нарушена). Действительно, здесь , где

,

причем ( − частичная сумма гармонического ряда), в то время как предел существует и конечен ( − частичная сумма сходящейся геометрической прогрессии), следовательно, .

С другой стороны, для сходимости знакочередующегося ряда выполнение признака Лейбница не необходимо: знакочередующийся ряд может сходиться, если абсолютная величина его общего члена стремится к нулю не, монотонно. Так, ряд

сходится и притом абсолютно, хотя признак Лейбница и не выполнен: абсолютная величина общего члена ряда хотя и стремится к нулю, но не монотонно.