КИ лекция 10 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 10. Численные методы. Тема 3. Численное интегрирование. Квадратурные формулы. Порядок точности. Формулы средних прямоугольников, трапеций и Симпсона. Практическое правило Рунге вычисления погрешности. Уточнение по Ричардсону. Вычисление интегралов в среде MATLAB. Тема 4. Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Явный метод Эйлера. Метод Рунге – Кутта 4-го порядка точности решения задачи Коши для систем дифференциальных уравнений. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений в среде MATLAB (MathCAD, Математика).

ОЛ-6, МП-13, ЭР-3, ЭР-4

Требуется вычислить приближенно интеграл

где f(x) − непрерывная на отрезке [a, b] функция.

Квадратурные формулы

В качестве приближенного значения интеграла I рассматривается число

(1)

где f(x_i) − значения функции f(x) в точках х = x_i, i = 0, 1, ..., n, q_i − чис­ловые коэффициенты. Формула (1) называется квадратурной формулой. Точки x_i называются узловыми точками или узлами квадратурной фор­мулы, а числа q_i − весовыми коэффициентами или весами квадратурной формулы. Разность

называется погрешностью квадратурной формулы. Погрешность зависит как от расположения узлов, так и от выбора весовых коэффициентов.

Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени s, если при замене f(x) на произвольный алгебраический многочлен степени не выше s приближенное равенство становится точным.

Если , то k − порядок точности ( ).

Формула средних прямоугольников

Допустим, что , h > 0. Положим приближенно

(2)

где f₀ = f(0). Формула (2) означает, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком функции f(x), аппроксимируется площа­дью закрашенного прямоугольника (Рис. 1а), высота которого равна значению f₀ функции f(x) в средней точке х = 0 отрезка . Формула (2) называется формулой средних прямоугольников.

Рис. 1. Иллюстрации для метода прямоугольников и метода трапеций.

Вывод формулы средних прямоугольников. Пусть

Так как F(0) = 0, F'(0) = f₀, F''(0) = f'₀, F'"(x) = f"(x), то согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, имеем

где , − некоторые точки, причем

Для любых точек , выполняются неравенства

Поэтому из непрерывности f(x) получаем, что

,

В частности , . Откуда получаем

,

Формула трапеций

,

где f₀ = f(0), f₁ = f(h),

Формула Симпсона

The method is credited to the mathematician Thomas Simpson (1710–1761) of Leicestershire, England. Kepler used similar formulas over 100 years prior. In German, the method is sometimes called Keplersche Fassregel for this reason.

,

где f₀ = f(0), f₁ = f(h), f₋₁ = f(−h), .

Составные квадратурные формулы

На практике, если требуется вычислить приближенно интеграл, обычно делят заданный отрезок [а, b] на п равных частичных отрезков , где x_i = а + ih, i = 0, 1, ..., n; x₀ = a, x_n = b, h = (b − а)/п. На каждом частич­ном отрезке используют каноническую квадратурную формулу и суммируют полученные результаты. При применении формул средних прямоугольников и трапеций длину частичных отрезков удобно принять за h, а при использовании формулы Симпсона − за 2h. В результате получаются следующие формулы, которые будем называть составными.

Составная квадратурная формула средних прямоугольников

где h = (b − а)/п, , , i = 0, 1, ..., n.

где . Если , то

Составная квадратурная формула трапеций

где h = (b − а)/п, , , i = 0, 1, ..., n.

Составная квадратурная формула Симпсона

где h = (b − а)/(2п), , , j = 0, 1, ..., 2n.

,

Правило Рунге. Пусть I_h, приближенное значение интеграла, найденное по одной из трех рассмотренных составных формул (по формулам средних прямоугольников, трапеций и Симпсона). Если функция f(x) принадлежит более высокому классу непрерывности, то можно записать, что

где константа c не зависит от шага h. Для шага h/2 можно записать аналогичную формулу

Поэтому

Отсюда

И, следовательно

Вычисление приближенной оценки погрешности по полученной формуле для функций класса называется правилом Рунге.

− уточненное по Ричардсону приближенное значение интеграла I.

Задача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Требуется найти решение и(х) задачи Коши

и' = f(x, u), u(x₀) = u₀ (3)

При изучении численных методов для задачи Коши будем считать, что она имеет единственное решение в замкнутой прямоугольной области D = {а ≤ х ≤ b, с ≤ и ≤ d}. Пусть требуется найти решение задачи (3) на отрезке [а, b]. Введем на отрезке [а, b] сетку , следующим образом:

где точки х_i, i = 0, 1, ..., n называются узловыми точками или узлами сетки, , i = 1, ..., n − шагами сетки; п − натуральное число. Если h_i = h = const, то такую сетку будем обозначать , и называть равномерной. Сетку можно задать так:

В дальнейшем будем пользоваться равномерной сеткой , с шагом h.

Пусть u_i = u(x_i) − значение точного решения (3) в точке x_i, а у_i − соответствующее приближенное значение, полученное с помощью рассматри­ваемого численного метода.

Явный метод Эйлера

Предположим, что функция f(x, u) в рассматриваемой области D имеет непрерывные частные производные и . В таком случае решение задачи Коши (3) имеет непрерывную вторую производную

Функцию и(х) разлагаем по формуле Тейлора в окрестности точки x_i:

где точка , i = 0, l, ..., n − 1. Затем отбрасываем остаточный член и заменяем значения и(х_i) на у_i.

, i = 0, l, ..., n − 1

где y₀ = u₀.

Определение 1. Локальной ошибкой вычислений при х = х_i, называется

Вообще говоря, эта ошибка состоит из методической ошибки (вызванной численным методом) и ошибки округления.

Определение 2. Глобальной методической ошибкой на отрезке [а, b] назы­вается величина

Определение 3. Численный метод решения задачи (3) называется методом k-ого порядка точности, если

Лемма. Пусть при любом i = 0, l, ..., n − 1 справедлива оценка

где h = (b − а)/n; с₁ > 0 и c₂ > 0 − постоянные, не зависящие от h. Тогда соответствующий метод численного интегрирования задачи (3) является методом k-ого порядка точности.

С помощью этой леммы можно показать, что явный метод Эйлера имеет первый порядок точности.

Метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Вычисления с по­мощью этого метода проводятся по формулам:

, i = 0, l, ..., n − 1