КИ лекция 1 (Лекции по криволинейным интегралам)

Лекция 1. Задачи, приводящие к двойному интегралу. Определение двойного интеграла. Формулировка теоремы существования. Свойства двойных интегралов. Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

ОЛ-1, гл. 1; ОЛ-2, гл. 14; ДЛ-2, т. 2, гл. 6, ЭР-1

Задачи, приводящие к двойному интегралу:

объем цилиндрической поверхности;

масса плоской неоднородной пластинки;

Определение двойного интеграла. Пусть D − некоторая замкнутая ограниченная плоская область, т.е. множество , содержащее свою границу и находящееся внутри некоторого квадрата или круга конечного размера, и пусть функция двух переменных f(x, y) определена во всех точках области D. Диаметром множества D назовем наибольшее расстояние между его точками: . (Если множество D открытое, то его диаметр следует определять как точную верхнюю грань .)

П редставим область D в виде объединения конечного числа частей, не пересекающихся между собой или пересекающихся разве что лишь по обшей границе (если она есть): и и обозначим площадь i-ой части через . Пусть λ − мелкость (диаметра) полученного разбиения: . Выберем в каждой части D_i по точке P(x_i, у_i) (см. Рис. 1) и составим интегральную сумму . Если существует конечный предел интегральных сумм при не зависящий от способа разбиения области D и выбора точек М, то этот предел называется двойным интегралом от функции f(x, y) по области D, и обозначается:

Формулировка теоремы существования.

Определение. Плоская фигура называется квадрируемой, если точная верхняя грань , множества площадей всех включенных в эту фигуру многоугольников равна точной нижней грани множества площадей всех многоугольников, включающих в себя эту фигуру, причем число , называют площадью данной плоской фигуры.

Теорема. Всякая непрерывная в квадрируемой замкнутой области функция f(x, y) интегрируема в D.

Свойства двойных интегралов.

(а) Линейность.

( Имеется в виду, что если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл и в левой части).

(б) Аддитивность. Если область D есть объединение областей D₁ и D₂, пересекающихся только по своей обшей границе (см. Рис. 2). то

(Аналогично, если существуют оба интеграла в правой части, то существует интеграл и в левой части).

(в) Интеграл от константы. Двойной интеграл от константы по области D равен произведению этой константы на площадь области D , если C = const, (S(D) ‑ площадь области D).

(г) Переход к неравенству. Если для всех точек верно неравенство f(x, y) ≤ g(x, y), то

(л) Теорема об оценке. Если числа m₁ и m₂ таковы, что для всех точек верны неравенства m₁ ≤ f(x, y) ≤ m₂, то

Определение. Средним значением функции f(x, y) на множестве D называется число

(ж) Теорема о среднем. Если множество D замкнуто, ограниченно и связно, а функция f(x, y) непрерывна на множестве D, то найдется точка такая, что , т.е. такая, что

Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат.

Повторным интегралом называется выражение вида

Повторный интеграл вычисляется справа налево, т.e. сначала находится интеграл , в котором x является параметром, т.е. постоянной, а затем вычисляется интеграл

Аналогично вычисляется и повторный интеграл вида

Свойства двукратного интеграла.

Свойство 1. Если правильную в направлении оси Oy область D разбить на две области D₁ и D₂ прямой, параллельной оси Оу или оси Ох, то двукратный интеграл I_D по области D будет равен сумме таких же интегралов по областям D₁ и D₂, т. е. .

Доказательство. а) Пусть прямая x = с (а < с < b) разбивает область D на две правильные в направлении оси Оу области D₁ и D₂. Тогда

б) Пусть прямая y = h разбивает область D на две правильные в направлении оси Oy области D₁ и D₂, так, как изображено на рис. (A). Обозначим через M₁ и М₂ точки пересечения прямой у = h с границей L области D. Абсциссы этих точек обозначим через a₁ и b₁.

О бласть D₁ ограничена непрерывными линиями:

1) y = φ₁(x);

2) кривой A₁M₁M₂В, уравнение которой условно запишем в форме , имея при этом в виду, что при a ≤ x ≤ a₁ и при b₁ ≤ x ≤ b и что при а₁ ≤ x ≤ b₁;

3) прямыми x = а, x = b.

Область D₂, ограничена линиями , y = φ₂(x), где а₁ ≤ x ≤ b₁.

Напишем тождество, применяя к внутреннему интегралу теорему о разбиении промежутка интегрирования:

Последний интеграл разобьем на три интеграла, применяя к внешнему интегралу теорему о разбиении промежутка интегрирования:

так как на отрезке [а, a₁] и на отрезке [b₁, b], то первый и третий интегралы тождественно равны нулю. Поэтому

Свойство 2. Аналогично для любого числа областей

Свойство 3 (оценка двукратного интеграла). Пусть m и М ‑ наименьшее и наибольшее значения функции f(х, у) в области D. Тогда имеет место соотношение

Доказательство. Произведем оценку внутреннего интеграла, обозначив его через Ф(х):

Тогда

Аналогично .

Свойство 4 (теорема о среднем). Двукратный интеграл I_D от непрерывной функции f(х, у) по области D с площадью S равен произведению площади S на значение функции в некоторой точке Р области D, т. е.

Расстановка пределов интегрирования в двойном интеграле. Различают два основных вида области интегрирования.

I) Область правильная в направлении оси Oy. Область интегрирования D ограничена слева и справа прямыми x = x₁ и x = x₂ (х₂ > x₁), а снизу и сверху непрерывными кривыми y = φ₁(x) и y = φ₂(x) (φ₂(x) ≥ φ₁(x)), каждая из которых пересекается с вертикалью х = Х (х₁ < X < х₂) только в одной точке (такая область называется правильной в направлении оси Oy). В области D переменная х меняется от x₁ до х₂, а переменная у при постоянном х меняется от y = φ₁(x) до y = φ₂(x). Вычисление интеграла может быть произведено путем сведения к повторному интегралу по формуле

где при вычислении величину x полагают постоянной.

Доказательство. Разобьем область D прямыми, параллельными осями координат, на п правильных (прямоугольных) областей На основании свойств 2 и 4 имеем

Перейдя к пределу в последнем равенстве, получим утверждение теоремы.

II) Область правильная в направлении оси Ox. Область интегрирования D снизу и сверху ограничена прямыми у = y₁ и у = y₂, а слева и справа непрерывными кривыми x = ψ₁(у) и x = ψ₂(у), каждая из которых пересекается с горизонталью у = Y (y₁ < Y < y₂) только в одной точке (такая область называется правильной в направлении оси Ox). Аналогично предыдущему имеем:

где при вычислении интеграла величина у считается постоянной.

Если область интегрирования не принадлежит ни к одному из разобранных выше видов, то ее стараются разбить на части, каждая из которых относится к одному из этих двух видов.