Московский Государственный Технический Университет им. Н.Э.Баумана

1. Утверждаю:

2. Пролетарский А.В.

3. «___»__________2014 г.

4. ____________________

Домашнее задание

«Расчет линейной стационарной следящей системы управления угловым положением объекта»

по курсу

"Теория управления"

Вариант № 6

1. Исполнитель:

2. cтудент группы ИУ5-52

3. Зайков С.А.

4. __________________

5. «___»__________2014г.

Москва

2014 г.

1. Задание:

Дана линейная следящая САР для дистанционного управления угловым положением объекта (обеспечивает синхронное и синфазное вращение двух валов механически между собой не связанных). Задающее устройство (вал) связано по угловому положению с выходом (валом) объекта датчиками углового положения, реализующими обратную связь. В результате сравнения напряжений на выходах датчиков вырабатывается сигнал ошибки, который усиливается с помощью двухкаскадного УНТ (усилитель постоянного тока). Далее сигнал поступает на якорную обмотку двигателя постоянного тока с независимым возбуждением. Двигатель через редуктор связан с объектом.

Задание к расчету:

Часть 1

1. Составить передаточные функции элементов. Найти передаточные функции разомкнутой САР, замкнутой, замкнутой по ошибке.

2. Построить логарифмические амплитудно-фазовые характеристики (ЛАФЧХ) разомкнутой САР.

3. Определить устойчивость исходной САР (замкнутой) по критериям Рауса-Гурвица, Михайлова, по ЛАФЧХ разомкнутой САР.

Часть 2

4. Спроектировать последовательное корректирующее устройство, обеспечивающее следующие качественно-точностные показатели работы САР:

а) перерегулирование [%];

б) время переходного процесса Тпп< Тмакс [сек];

в) установившаяся ошибка по скорости при заданной скорости вращения задающего вала 10 град/сек.

5. Построить переходные процессы для исходной САР и САР с коррекцией. Сделать выводы по удовлетворению предъявляемым требованиям.

Структурная схема:

Параметры устройств:

№ варианта	Кд	Ку	Кдв	i
6	0.3	450	5	7

№ варианта	Ty	Tдв
6	0.03	0.16

Требования к качеству переходного процесса:

№ варианта	δмакс , %	Тмакс, с	εмакс, град
6	25	0.8	0.6

1. Передаточные функции элементов:

1-е звено: датчик.

>> Wd=tf([0.3],[1])

Transfer function:

0.3

2-е звено: усилитель.

Применим преобразование Лапласа:

>> Wu=tf([450],[0.03 1])

Transfer function:

450

----------

0.03 s + 1

3-е звено: двигатель.

>> Wdv=tf([5],[0.16 1 0])

Transfer function:

5

------------

0.16 s^2 + s

4-е звено: редуктор.

>> Wr=tf([0.1429],[1])

Transfer function:

0.1429

1. Передаточная функция разомкнутой САР:

>> Wraz=Wd*Wu*Wdv*Wr

Transfer function:

96.46

-------------------------

0.0048 s^3 + 0.19 s^2 + s

1. Передаточная функция замкнутой САР:

>> Wzam=feedback(Wraz, 1)

Transfer function:

96.46

---------------------------------

0.0048 s^3 + 0.19 s^2 + s + 96.46

1. Передаточная функция замкнутой по ошибке САР

>> Wzamo=feedback(1, Wraz)

Transfer function:

0.0048 s^3 + 0.19 s^2 + s

---------------------------------

0.0048 s^3 + 0.19 s^2 + s + 96.46

1. Логарифмические амплитудно-фазовые характеристики разомкнутой САР

В системе MATLAB с помощью функции bode(Wraz) построим ЛАФЧХ разомкнутой САР.

ЛАФЧХ

Проведем частотный анализ ЛАФЧХ. Точка на ЛАЧХ (верхний график) соответствует 0 дБ. При этом значении амплитуды сигнала = 1. Если спроецировать точку на ФЧХ, то мы получаем значение фазы = -198⁰, т. е. точка находится ниже -180⁰, отсюда следует, что система будет неустойчива.

1. Определить устойчивость исходной САР (замкнутой) по критерию Гурвица

>> Wzam=feedback(Wraz, 1)

Transfer function:

96.46

---------------------------------

0.0048 s^3 + 0.19 s^2 + s + 96.46

Как видно, знаменатель D(S) = 0.0048 s^3 + 0.19 s^2 + s + 96.46, по критерию Рауса-Гурвица мы приравниваем знаменатель нулю. Далее из коэффициентов, стоящих перед каждой из переменных, составляем Матрицу Гурвица.

delta1:=0.19 >0

delta2:= 0.19*1 – 0.0048*96.46= -0.273008 < 0

delta3:= 0.19*1*96.46+ 96.46*0*0+0*0.0048*0.19 – 0*1*0- 0.19*0*96.46- 0.19*0.0048*96.46

= 18.3274-0.0879 = 18.2395 > 0

Один из миноров < 0 => система неустойчива по критерию Гурвица.

8. Определить устойчивость САР по критерию Михайлова

Подставим в характеристический полином чисто мнимое значение  , получим комплексный полином

,

где   

 .

 и   называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова. Функции   и  представляют собой модуль и аргумент (фазу) вектора  . Вектор   при изменении частоты   будет описывать своим концом в комплексной плоскости (пл.  ) кривую, называемую годографом Михайлова.

D(S) = 0.0048 s^3 + 0.19 s^2 + s + 96.46

Приравняем , . Тогда мы сможем найти неотрицательные корни этих уравнений.

для , =22.53

для , = 14.43

П роведем анализ:

Как видно из рисунка, чередование значений при возрастании частот не происходит. Отсюда следует, что система неустойчива по критерию Михайлова. Для подтверждения этого, построим годограф Михайлова в системе MATLAB.

Кривая Михайлова

Как видим, график функции начинается в 1 четверти, затем переходит в 4, и на ->∞ переходит в 3 четверть, поэтому систему можно считать неустойчивой.

9. Определить устойчивость САР по ЛАФЧХ разомкнутой САР

Проведем частотный анализ ЛАФЧХ. Точка на ЛАЧХ (верхний график) соответствует 0 дБ. При этом значении амплитуды сигнала = 1. Если спроецировать точку на ФЧХ, то мы получаем значение фазы = -198⁰, т. е. точка находится ниже -180⁰, отсюда следует, что система будет неустойчива.

10. Проектирование последовательного корректирующего устройства

Расчет параметров корректирующего устройства будем производить на основе компьютерного моделирования.

Построим график передаточной функции замкнутой САР:

На графике видим типичную неустойчивую систему, которая выходит из равновесия в определенный момент времени (27с по графику). Для улучшения данного процесса введем в систему ПИД регулятор и получим следующую схему:

Структурная схема (с ПИД регулятором)

В данной формуле учтены все три составляющие (пропорциональный, интегральный и дифференциальный коэффициенты).

ε_макс = 0,6град/с, при заданной скорости 10град/сек. Значит ε_макс – «скоростная» ошибка.

Т.к. Е_{положения} = 0 (система астатическая) и порядок астатизма в системе равен 1, необходимо ввести лишь ПД регулятор. Интегральная составляющая не учитывается, и коэффициент интеграции равен нулю.

Рассчитаем желаемый коэффициент усиления:

=>

К_жел = К_П * К_исх

К_П = 16.7 / 96.46 = 0.17

В системе MATLAB существует функция для ПИД-регулятора. Задав в качестве параметров пропорциональный, интегральный и дифференциальный коэффициенты, мы сможем построить график передаточной функции для замкнутой САР, но уже отрегулированной под необходимые параметры.

Известен коэффициент пропорциональности, а дифференциальный коэффициент будем изменять в пределах некоторого значения с некоторым шагом (в данном варианте было принято решение изменять значения от 0.1 до 0.2 с шагом 0.05).

Подставив все эти коэффициенты в функцию pid() системы MATLAB, задав цикл для прохождения по шагам значений коэффициента дифференциации, мы сможем получить следующие графики переходного процесса замкнутой САР:

Из графика видно, что X_макс будет равно 1.25. Проверим на соответствие системы требованиям.

Перерегулирование:

= δ_макс

Время переходного процесса:

Примем Δ = 5%, тогда в момент времени t = 0.8с для значения функции должно выполняться:

На графике видно, что в момент времени T=0.801c Амплитуда равна 0.978 и попадает в приведенные границы. Точное время переходного процесса 0.245с, т.к. именно в этот момент график попадает в отрезок и больше из него не выходит.

Значит, при введении последовательного корректирующего устройства в виде ПД-регулятора, САР полностью удовлетворяет предъявляемым требованиям. При этом параметры ПД-регулятора следующие: