Рассмотрим пример:

Пусть задана система обыкновенных дифференциальных уравнений:

с

о следующими начальными условиями:

Для интегрирования данной системы уравнений необходимо создать М-файл, который является функцией переменных t и y. Для создания файла воспользуемся редактором MATLAB Editor/Debugger, который вызывается из основного меню File – New – M-File. Текст файла:

function dy=rigid(t,y)

dy=zeros(3,1);

dy(1)=y(2)*y(3);

dy(2)=-y(1)*y(3);

dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);

Название файла и функции должны совпадать. Файл надо сохранить с названием rigid.

В этом примере абсолютная и относительная погрешность задается при помощи команды odeset, время интегрирования зададим в интервале от 0 до 12 [0 12], вектор начальных условий [0 1 1]. Для осуществления процедуры интегрирования в рабочем пространстве Matlab необходимо набрать:

» options=odeset('RelTol',1e-4,'AbsTol',[1e-4 1e-4 1e-5]);

» [t,y]=ode45('rigid',[0 12],[0 1 1],options);

Чтобы просмотреть результаты в рабочем пространстве Matlab необходимо ввести в командной строке y. Графически результаты выводятся при помощи команды plot:

» plot(t,y(:,1),'-',t,y(:,2),'-.',t,y(:,3),'.').

Нахождение корней полиномов

Система Matlab имеет функцию roots(P), которая вычисляет вектор, элементы которого являются корнями заданного полинома Р.

Р
ассмотрим пример. Пусть задан полином:

В системе Matlab полином задается вектором его коэффициентов:

» p=[1,8,31,80,94,20]

При вводе функции roots(p) вычисляются корни полинома p:

» roots(p)

Исследование линейных стационарных систем

Исследование и ввод моделей линейных стационарных систем производится при помощи пакета системы Matlab – Control Toolbox.

Ввод моделей в виде пространства состояний

Рассмотрим ввод модели системы в виде пространства состояния по заданным матрицам A,B,C,D уравнений состояния системы:

(1.2)

Матрицы вводятся в рабочем пространстве Matlab в квадратных скобках по срокам через точку с запятой, например матрица

вводится следующим образом:

» A=[0 1;-10 1]

Модель в виде пространства состояний вводится при помощи функции sys=ss(A,B,C,D), где sys – произвольное название системы. Перед вводом этой команды необходимо ввести в рабочее пространство Matlab последовательно матрицы A,B,C,D.

Ввод моделей в виде вход-выход (передаточных функций)

Ввод модели системы в виде передаточной функции рассматривается на примере апериодического звена.

П
усть требуется ввести модель с передаточной функцией

Для этого нужно воспользоваться функцией tf и в рабочем окне системы ввести данную передаточную функцию при помощи набора следующей команды:

waz = tf ([k],[T 1]

где waz- произвольное имя функции, в первой квадратной скобке вводятся коэффициенты полинома числителя (k), а во второй коэффициенты полинома знаменателя (T,1).

Рассмотрим пример со следующими коэффициентами:

k = 10

T₁ = 0.1

» waz=tf([10],[0.1 1])

Ввод дискретных моделей

Указанные процедуры позволяют создавать как непрерывные модели, так и дискретные. В случае ввода дискретных систем к числу входных параметров процедуры следует добавить в конце значение шага дискретизации Ts, а вводимые значения коэффициентов уже должны задавать параметры дискретных передаточных функций (для функции tf) или матрицы разностных уравнений пространства состояния (для функции ss).

Пример ввода дискретной передаточной функции:

» dsys=tf([1 4],[1 2 3],0.01)

Sampling time: 0.01.

Модель, заданную как непрерывная, можно преобразовать в дискретную, воспользовавшись процедурой c2d:

sysd = c2d(sys, Ts, method),

где sysd – получаемая дискретная модель, sys – заданная непрерывная модель, Ts – задаваемое значение шага дискретизации системы, method – параметр, определяющий метод дискретизации [1].

Получение характеристик систем

Расчет полюсов системы производится при помощи команды

pole(sys).

Для нахождения временных откликов системы используются функции:

Импульсная переходная функция ИПФ

impulse(sys) – нахождение реакции системы sys на единичное импульсное входное воздействие;

Переходной процесс системы

Step(sys) – нахождение реакции системы sys на единичное ступенчатое воздействие .

Амплитудно-фазовую характеристику системы в полярных координатах можно получить воспользовавшись командой

nyquist(sys).

Логарифмическую амплитудно-фазовую характеристику системы в полярных координатах можно получить воспользовавшись командой

bode(sys).

Для того чтобы построить переходной процесс системы, т.е. ее реакцию на единичное ступенчатое воздействие, а также ее частотные характеристики в одном окне используется так называемый интерактивный наблюдатель ltiview (для этого нужно набрать в рабочем окне команду ltiview и на экране появится окно интерактивного обозревателя). При первом обращении к обозревателю окно пусто, т.к. нужно импортировать в него модель системы.

Для этого из верхнем меню File необходимо выбрать команду import – на экране появится меню выбора импортируемой модели системы (например sys).

Обозреватель позволяет получить на одном экране несколько графиков, в том числе и частотные характеристики системы. Для выбора необходимых характеристик требуется выбрать из меню Tools команду Viewer Configuration.

На экране появятся различные конфигурации количества отображаемых графиков. Если выбрать нажатием радио-кнопки конфигурацию, содержащую 4 графика, тогда на экране появятся следующие графики:

• переходной процесс;

• импульсная переходная функция (реакция системы на дельта-функцию);

• логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика;

• амплитудно-фазовая частотная характеристика в полярных координатах.

Моделирование систем при помощи пакета Simulink

Чтобы в системе Matlab работать со структурными схемами надо воспользоваться пакетом Simulink.

Моделирование линейных систем

Рассмотрим структурную схему, представленную на рис.1.1, где

W

₁= k, k=10,

Рис. 1.1. Структурная схема линейной системы

Промоделируем эту систему в Simulink. Для этого надо ввести команду в рабочую строку

» simulink.

На экране появится меню выбора блоков (Simulink Library Browser). Чтобы создать новый файл для ввода системы нажмите на иконку в верхнем левом углу (белый лист).

Далее нужно набрать схему системы, при этом на вход подать единичное ступенчатое воздействие. Для этого нужно из главного меню последовательно выбрать – Simulink – Sources – Constant и перенести этот блок на окно файла системы. Далее нужно поставить сумматор – Simulink – Math – Sum. Чтобы поменять параметры блока надо дважды нажать на левую клавишу мыши в области его изображения. В появившемся окне поставьте +-, т.е. введите отрицательную обратную связь.

Блок, реализующий W₁ ,т.е. коэффициент усиления, находится в Simulink – Math – Gain. Коэффициент усиления введите 10. Если коэффициент усиления необходимо менять в процессе исследования системы его удобно поставить отдельно в виде ползунка – Simulink – Math – Slider Gain, при этом необходимо поставить пределы изменения коэффициента усиления.

Блок, реализующий интегрирующее звено (W₂) находится в Simulink – Continuous – Integrator.

Блок, реализующий произвольные передаточные функции (W₃) – Simulink – Continuous – Transfer Fnc. Передаточные функции вводятся при помощи набора коэффициентов числителя и знаменателя (в верхней строке числителя, в нижней знаменателя). В данном случае необходимо ввести:

Numerator:

[1]

Denominator:

[0.25 0.4 1]

Теперь мы можем вывести на экран график переходного процесса, т.е. реакцию системы на единичное воздействие. Для этого на выход системы надо установить блок для вывода графика выходного сигнала – Simulink – Sinks – Scope. Для моделирования системы надо выбрать Simulation – Start.

Для просмотра характеристик системы, набранной в simulink можно также воспользоваться Ltiviewer.

В данном случае надо обозначить вход и выход системы, а входное воздействие (const=1) следует убрать.

Из верхнего меню окна набранной системы выберите Tools – Linear Analysis.

На экране появятся два окна: окно для выбора моделей входа и выхода и окно самого Ltiview.

Перенесите на окно набранной системы input point (на вход) и output point (на выход).

Затем в окне Ltiview выберите Simulink – Get Linearized Model.

Далее при помощи настройки конфигурации просматриваемых графиков можно вывести на экран и логарифмические частотные характеристики.

Моделирование нелинейных систем

Рассмотрим также пример нелинейной системы, которая исследуется при помощи фазового портрета (рис 1.2).

Релейная характеристика находится в Simulink – Nonlinear – Relay. Исходно данная характеристика является гистерезисной, поэтому для преобразования ее в идеальную релейную характеристику необходимо установить следующие параметры:

Switch on point:0

Switch off point:0

Output when on (c):1

Output when off (-c): -1

Реле Усилитель Двигатель

Рис 1.2. Структурная схема нелинейной системы

Д
ля построения фазового портрета используется следующая процедура – Simulink – Sinks – XY Graph (в данном случае y=dx/dt). Блок XY Graph имеет два входа – один с переменной x, а другой с ее производной.

Структурная схема представлена на рис 1.3.

Рис. 1.3. Структурная схема нелинейной системы в MatLAB

ЛИТЕРАТУРА

1. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 3-х т. / Под ред. Н.Д. Егупова. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2000.

Т. 1. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления.

Т. 2. Синтез регуляторов и теория оптимизации систем автоматического управления.

Т. 3. Методы современной теории автоматического управления.

2. Солодовников В.В., Плотников В.Н., Яковлев А.В. Управление техническими системами. – М.: Высшая школа, 1991.

3. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. – М.: Наука, 1978.

Гаврилов Александр Игоревич

Цибизова Татьяна Юрьевна

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Методические указания к лабораторным работам

Подписано к печати: 28.04.2006 г.

Формат бумаги 60х84/16. Бумага офсетная.

Печ. л. 2,5. Усл. печ. л. 2,3. Уч.-изд. л. 2,2

Тираж 500 экз.

Изготовлено: МГТУ им. Н.Э.Баумана

г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5

27