глава3-n_123 (Сборник электронных лекций), страница 2

Более сложные варианты подключения несимметричных потребителей к трёхфазной сети сводятся к схемам соединения треугольником или звездой. Они могут быть и с неполным количеством фаз.

Расчёты токов и напряжений на основе графических построений векторов в векторных диаграммах возможен. Общим же случаем расчета является применение символического метода.

Расчет приведён в примере 3.5.2.

3.6 Мощности в трёхфазной системе

Определяющим при расчёте мощностей в электрических цепях является уравнение баланса мощности. Оно является выражением закона сохранения энергии. В переменных синусоидальных токах это баланс полной мощности. Он записывается по составляющим: равенству активной и реактивной мощностей источников и потребителей. Общий случай расчёта полной мощности трёхфазной сети как источника может быть выполнен символическим методом. Для каждого из фазных напряжений сети его положительное направление и положительное направление линейного тока противоположны. Значит каждое из фазных напряжений сети - источник. Уравнение расчёта полной мощности сети как источника:

(3.6.1)

где I_A*, I_B*_,I_C * - сопряженные комплексы выражений линейных токов.

Все элементы R, X_L и X_С рассматриваемой схемы являются потребителями либо активной, либо реактивной мощности:

, (3.6.2)

где I - действующее значение токов.

Баланс заключается в равенстве , . Расчет баланса мощности указан в примере 3.6.1.

При симметричной нагрузке применяются более простые выражения мощности в действительных числах.

Независимо от соединения треугольником или звездой суммарная мощность для трёх фаз потребителя равна:

В данное равенство вводятся линейные напряжение и ток.

Если фазы потребителя соединены тругольником, то:

,

Если фазы потребителя соединены звездой, то:

,

В обоих случаях оказывается:

(3.6.3)

Учитывая под Р в уравнении (3.6.3.) имеется в виду мощность потребляемая из сети, т.е. мощность источника. Полная и реактивная мощности соответственно будут выражены:

, (3.6.4)

3.7 Расчёты в трёхфазных цепях

Пример 3.2.1

Д ано: U_сети=380/220 В

Требуется: Выразить линейные и фазные напряжения сети комплексными числами.

Решение:

Изобразим систему линейных и фазных напряжений сети ( рис. 3.7.1 ) так, чтобы все шесть векторов исходили из одной точки. Масштаб векторов не указываем. Взаимная связь векторов по уравнениям (3.2.1.) и (3.2.2.) сохраняется. Поворачиваем оси комплексной плоскости так, чтобы вектор фазного напряжения U_A располагался по действительной оси. Координаты

Рис 3.7.1 расположения каждого из векторов в комплексной плоскости являются их выражениями комплексными числами:

Пример 3.4.1

Дано: Схема электрических цепей, подключенных к трехфазной сети 380/220 В. R=12 Ом, X_C=5 Ом.

Требуется: Рассчитать токи, построить векторную диаграмму напряжений сети и токов.

Решение:

В схеме фазы потребителя подключены к линейным напряжениям сети. Это соединение треугольником. Нагрузка симметричная. Назначаем положительные направления токов, как указано на схеме. Расчет выполняется по уравнениям (3.4.1), (3.4.2), (3.4.3).

, ,

,

,

При построении векторной диаграммы указываем векторы линейных напряжений сети и токи согласно уравнениям расчета.

Пример 3.4.2

Дано: Схема электрических цепей, подключенных к трехфазной сети 380/220 В, R₁=20 Ом, X_C=40 Ом, R₃=10 Ом, X_L=10 Ом.

Требуется: Рассчитать токи, построить векторную диаграмму напряжений сети и токов.

Р ешение:

Фазы потребителя соединены треугольником, нагрузка несимметричная. Назначаем положительные направления токов. Для расчета токов применяем символический метод.

Уравнения:

Пример 3.5.1

Дано: Четыре резистивных потребителя - нагревательные приборы, имеющие номинальные данные U_ном=220 В, P_ном,=600 Вт, подключены к трехфазной сети 380/220 В как указано на схеме.

Т ребуется: Определить токи, построить векторную диаграмму.

Решение:

Резисторы R₁, R₂ и параллельно соединенные R₃ и R₄ образуют соединение звездой. Нагрузка несимметричная.

Назначаем положительные направления токов, как указано на схеме.

Вычисляем величины сопротивлений:

На основе уравнений (3.5.1) вычисляем токи:

Наносим векторы токов на векторной диаграмме напряжений.

На основе уравнения (3.5.2) из векторных построений находим I₄=2.73А.

Пример 3.5.2

Дано: Схема электрических цепей, подключенных к трехфазной сети 380/220 В. R=X_L=X_C=20 Ом.

Требуется: Определить напряжения U_KM и U_KS

Решение:

Д ля определения U_KM выбираем вариант расчета с помощью графических построений векторов.

Векторы линейных и фазовых напряжений сети строим так, чтобы на диаграмме оказались точки с потенциалами точек схемы A, B, C, N. Взаимная связь векторов по уравнениям (3.2.1) и (3.2.2) сохраняется. Назначаем положительные направления токов как указано на схеме. Определяем токи I₁ и I₃ согласно уравнениям (3.4.1) и (3.5.1).

Изображаем на векторной диаграмме напряжений найденные токи как векторы.

Вычисляем напряжения: U_AK=I₁R₁=268.8 В, U_KB=I₁X_C1=268.8 В, U_AM=I₃X_L3=155.6 В, U_MN=I₃R₃=155.6 В. Изображаем на векторной диаграмме соответствующие векторы. В треугольнике KAM угол A 30⁰. По теореме косинусов вычисляем U_KM:

Для вычисления U_KS выбираем символический метод.

Уравнения:

,

Пример 3.6.1

Дано: Схема электрических цепей, подключённых к трёхфазной сети 380/220 В.

R₁=10 Ом, R₂=20 Ом, X_L1=40 Ом, X_С2=30 Ом, X_С3=5 Ом.

Требуется: Рассчитать баланс активной и реактивной мощности.

Р ешение:

Фазы потребителя соединены звездой. Нагрузка несимметрич- ная. Назначаем положительные направления токов, как указано на схеме. Рассчитываем токи по уравнениям (3.5.1) символическим методом.

Расчёт токов:

,

,

,

,

Расчёт мощности источников по уравнению (3.6.1):

Расчёт мощности потребителей по уравнениям (3.6.2):

,

,

Баланс мощности сходится.

11