Глава2-n_123 (Сборник электронных лекций), страница 2

Для схемы рис. 2.7. уравнение по второму закону Кирхгофа для мгновенных значений запишем в виде:

(7)

Пусть , тогда:

(8)

Вектор тока и векторная диаграмма напряжений приведены на рис. 2.8. Векторы напряжений на активном и реактивном элементах ортогональны, а векторы напряжений на L и C смещены на .

В комплексной форме уравнение (8) примет вид:

(9)

Здесь

- комплексное сопротивление,

- модуль комплексного сопротивления

- фаза комплексного сопротивления.

На комплексной плоскости сопротивления - образуют треугольник сопротивления, рис. 2.10.

Если сопротивления умножить на , получим диаграмму напряжений, рис. 2.9.

Сравнивания уравнения (8) и (9), отметим, что дифференциальные уравнения (8) после замены мгновенных значений их комплексными символами переводится в уравнение алгебраическое (9). Это одно из преимуществ комплексного метода расчета.

Введение понятия комплексного сопротивления, позволяет написать закон Ома для всей цепи в комплексной форме или для модулей комплексов

Таким образом, для целей переменного тока можно составлять уравнения, по структуре сходной с уравнениями для цепей постоянного тока.

2.9 Параллельные соединения элементов r, L, C.

Для схемы рис. 2.11. составим уравнение по первому закону Кирхгофа для мгновенных значений:

(10)

Если , то

(11)

Здесь

- активная проводимость,

- индуктивная проводимость.

Единица измерения проводимостей - сименс (Сим).

Векторная диаграмма токов приведена на рис. 2.12.

Уравнение (11) в комплексной форме:

(12)

Здесь

- комплексная проводимость или комплекс проводимости,

- модуль комплекса проводимости

- фаза комплекса проводимости.

Проводимости образуют треугольник проводимости, рис. 2.13.

Комплексная векторная диаграмма токов для уравнения (12) приведена на рис. 2.14.

Пример 1.

Для схемы, приведенной на рис. 2.15.

Задано:

,

L=6,37 мГн, С=796 мкФ, f=50 Гц,

, ,

Определить токи.

Решение.

Воспользуемся комплексным методом расчета. Запишем комплексы сопротивлений для каждой ветви:

,

.

Входное сопротивление цепи:

Входной ток:

Определим токи и

Мгновенные значения токов запишем в виде:

Пример 2.

Для схемы рис. 2.11 определить сдвиг по фазе между входным током и напряжением, если Ом, Ом, Ом.

Решение:

комплекс тока:

Фаза напряжения принята за ноль, а фаза тока получилась равной . Сдвиг по фазе между током и напряжением .

2.9.1. Мощность в цепи синусоидального тока. Комплексная мощность.

Пусть в цепи рис. 2.7 ток равен .Мгновенное напряжение будет сдвинуто по отношению к току на угол , отличный от 0 и .Мгновенная мощность для этой цепи примет вид:

(13)

Выразим сопротивления r и через модуль сопротивления Z :

, , (14)

Подставим (14) в (13), получим

Временные диаграммы i(t), u(t), p(t) приведены на рис. 2.16.

Мощность p(t) имеет постоянную составляющую, т.е. среднюю мощность, или активную мощность:

и переменную составляющую. Амплитуда переменной составляющей называется полной мощностью, измеряется в вольт-амперах, (ВА).

Мощности P и S связаны по закону треугольника мощностей, рис 2.17.

Третья составляющая в этом треугольнике – мощность реактивная .

Реактивная мощность измеряется в вольт-амперах реактивных,( ).Полезная мощность измеряется ваттметром.

Пример.

График мгновенной мощности p(t) приведен на рис. 2.19.

Максимальное и минимальное значения мощности соответственно равны 800 и 200 ВА. Определить полную активную и реактивную мощности цепи.

Решение:

Размах значений мощности 1000 ВА, амплитудное значение 500 ВА, это полная мощность S. Среднее значение мощности P=800-500=300 Вт. Реактивная мощность .

Отношение активной мощности к полной (рис. 2.17) равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности

Для лучшего соотношения между мощностью электрической машины и других приборов и их габаритными размерами коэффициент мощности стремятся сделать максимально возможным.

Высокий коэффициент мощности желателен для уменьшения потерь при передаче энергии по линиям.

Чтобы выразить мощность через комплексы токов и напряжений воспользуемся следующим соображением.

Пусть заданы комплексы и .

Активная мощность должна быть равна , где .

Отсюда следует, что при определении комплекса мощности фаза тока должна быть взята с обратным знаком, т.е. комплекс тока должен быть заменен на сопряженный.

Полная комплексная мощность

2.10. Законы Кирхгофа и уравнение энергетического баланса в комплексной форме.

Первый закон Кирхгофа:

Второй закон Кирхгофа:

Уравнение энергетического баланса:

.

.

.

2.11. Резонанс в цепях синусоидального тока.

Реактивные сопротивления и проводимость являются частотно-зависимыми величинами. Следовательно, при последовательном или параллельном соединении элементов L и C возможна на какой-то частоте полная компенсация реактивных сопротивлений или проводимостей. Режим, при котором наступает компенсация, называют резонансом. При резонансе входное сопротивление цепи становится активным, входное напряжение совпадает по фазе с входным током, а полная мощность будет активной. Угловая частота, , при которой наступает резонанс, называется резонансной или собственной угловой частотой цепи. Различают две разновидности резонанса: резонанс напряжений и резонанс токов.

2.11.1. Резонанс напряжений.

Может возникнуть в цепи с последовательным соединением L и C, рис. 2.20а.

Для этой цепи запишем:

.

Условие резонанса:

или ,

откуда резонансная частота .

Настройку цепи в резонанс, изменение параметров цепи при частотах , отличных от резонансной можно увидеть, если построить частотные характеристики сопротивлений, тока в цепи и напряжений на r, L, C.

На рис. 2.20б,в,г приведены частотные характеристики реактивных сопротивлений и , суммарного реактивного сопротивления , модуля полного сопротивления , модуля входного тока , а также амплитудно-частотные характеристики напряжений:

,

,

.

По графику определена резонансная частота , по графику можно увидеть, что сопротивление цепи при резонансе минимально и равно активному сопротивлению, по графику - что ток в цепи при резонансе максимален. Графики , , имеют ярко выраженный избирательный характер, т.е. имеют максимальные значения на резонансной частоте или вблизи нее. Можно также отметить, что напряжения и при резонансе могут превышать значение входного напряжения. Это хорошо иллюстрируется с помощью векторных диаграмм напряжения приведенных на рис. 2.20д,е,ж при частотах , и .Обратите также внимание на значения угла на этих частотах и сопоставьте эти значения с характером реактивных сопротивлений на соответствующих частотах. Так при частотах , реактивное сопротивление носит емкостной характер и и т.д.

2.11.2. Резонанс токов.

Возможен в цепях с параллельным соединением L и C элементов, рис. 2.21а.

Для этой цепи запишем уравнение по первому закону Кирхгофа:

Компенсация реактивных проводимостей и реактивных токов:

,

произойдет на резонансной частоте

Для анализа явления резонанса токов построим частотные характеристики реактивных проводимостей рис.2.21б, модуля полной проводимости , рис.2.21в, модуля полного тока , рис. 2.21г. Здесь отмечена резонансная частота, полная проводимость цепи при резонансе минимальна и полный ток минимален. Векторные диаграммы токов, построенные для частот , , , рис. 2.21д,е,ж, позволяют убедиться, что токи в катушке и конденсаторе могут значительно превышать полный ток.

2.12. Резонанс напряжений и токов в разветвленных цепях.

Мы рассмотрели резонанс в последовательном и параллельном контурах с идеальными элементами L и C. Рассмотрим другие более сложные примеры. Для цепи рис. 2.22 запишем условие резонанса, определим резонансную частоту и ток в цепи.

Входные сопротивления цепи:

Выделим действительные и мнимые части сопротивлений:

Компенсация реактивных сопротивлений произойдет на частоте :

Входное сопротивление при резонансе минимально и равно:

Входной ток при резонансе максимален и равен

Для цепи, приведенной на рис. 2.23, возможен резонанс токов. Запишем входную проводимость цепи

Выделим действительные и мнимые части проводимостей:

Условие резонанса:

Входной ток:

В разветвленных цепях с L и C возможны несколько резонансов. Так в цепи рис. 2.24 возможны и резонанс токов в ветвях L , C и резонанс напряжений для всей цепи.

Пример.

Цепь, рис 2.25 настроена в резонанс. Определить и , если задано:

, , , .

Решение:

Входное сопротивление цепи равно:

Условие резонанса напряжений:

Решая квадратное уравнение относительно , получим

Ток при резонансе равен: