Глава 2.

Электрические цепи однофазного синусоидального тока.

2.1. Синусоидальный ток и основные характеризующие его величины.

Синусоидальным током называют ток, изменяющийся во времени по синусоидальному закону (рис. 2.1):

Ток i(t) называют мгновенным. Максимальное значение тока называют амплитудой и обозначают . Период Т – это время, за которое совершается одно полное колебание. Частота равна числу колебаний в секунду , единица частоты - герц (Гц).

Угловая частота , единица угловой частоты рад/с или .Аргумент синуса, т.е. , называют фазой. Фаза характеризует состояние колебания в данный момент времени t.

Начальная фаза тока - .

Любая синусоидальная функция характеризуется тремя величинами: амплитудой, угловой частотой и начальной фазой.

Синусоидальные токи и ЭДС сравнительно низких частот, до нескольких килогерц, получают с помощью синхронных генераторов (их изучают в курсе электрических машин). Синусоидальные токи и ЭДС высоких частот получают с помощью ламповых и полупроводниковых генераторов, подробно рассматриваемых в разделе – электроника.

2.2. Среднее и действующее значение синусоидальных тока и ЭДС.

Принято среднее значение функции времени определять за период

Для синусоидальной функции среднее значение за период равно нулю.

Используется также понятие среднего значения синусоидальной функции за полпериода:

.

Аналогично, среднее значение ЭДС за полпериода .

Действующим значением синусоидальной функции называется ее среднеквадратичное значение за период

Большинство измерительных приборов амперметров и вольтметров показывают действующее значение измеряемой величины.

2.3. Сложение синусоидальных функций времени. Векторные диаграммы. Основы символического метода расчета.

Пусть требуется сложить два тока:

;

(1)

Тригонометрическому уравнению (1) можно дать геометрическую интерпретацию, если каждому синусоидальному значению поставить в соответствие вектор на плоскости в координатах x, y, рис. 2.2а. Длиной вектора будет амплитуда тока, а фазой – начальная фаза синусоиды . Совокупность векторов, соответствующая уровням токов или напряжений, называется векторной диаграммой.

Уравнению (1) можно поставить в соответствие другое уравнение, в котором каждая синусоида будет представлена в виде комплексного числа.

Ток можно записать по формуле Эйлера:

(2)

С учетом (2) уравнение (1) примет вид:

(3)

Уравнение (3) содержит два типа комплексных чисел:

Прямые:

и сопряженные:

и может быть записано для каждой группы в отдельности, например,

(4)

Исключая общие множители и , получим:

(5)

или

Комплексное число называется током в комплексной форме или комплексом тока по максимальному значению. Здесь - модуль комплекса по максимальному значению, а - фаза комплекса.

Если за модуль комплекса принять не амплитудное, а действующее значение, то получим комплекс по действующим значениям или просто комплекс тока.

Уравнение (5) для комплексов тока примет вид:

или (6)

Геометрическая интерпретация уравнения (6) на комплексной плоскости приведена на рис. 2.2.б. Это так называемая комплексная векторная диаграмма является с учетом масштаба точным аналогом векторной диаграммы, приведенной на рис.2.2.a.

Комплекс тока называют символом мгновенного тока i(t), а метод составления уравнений в комплексной форме – комплексным или символическим.

Забегая вперед, отметим, что расчет цепей комплексным методом имеет значительные преимущества перед методом расчета по мгновенным значениям.

2.4. Пассивные элементы электрической цепи.

Резистор r , индуктивность L и емкость C являются пассивными элементами электрической цепи. Резистор r или активное сопротивление цепи – это элемент, в котором происходит рассеивание энергии в виде тепла или превращение электрической энергии в другой вид энергии: в световую, химическую или механическую.

Индуктивность L и емкость C называются реактивными элементами цепи, в них происходят накапливание энергии в виде магнитного или электрического поля. Рассеивание энергии в таких элементах отсутствует. Идеальные элементы r, L, C на схеме обозначаются так, как это показано на рис. 2.3а.

Реальные катушки индуктивности и конденсаторы рассеивают часть энергии. Этот факт учитывается с помощью добавочных сопротивлений для катушки и для конденсаторов, рис. 2.3б. В проволочных сопротивлениях и катушках индуктивности учитывают также межвитковую емкость , рис 2.3б.; в реальном конденсаторе можно учесть паразитную индуктивность подводящих контактов , рис. 2.3б.

Рассматривая пассивные элементы цепи r , L, C ответим на следующие вопросы:

1. Каково соотношение между мгновенным значением тока и напряжения на каждом элементе? Каков вид векторов тока и напряжения?

2. Каковы мгновенная мощность p(t) и накопленная энергия магнитного или электрического полей?

3. Каково соотношение тока и напряжения на элементе в комплексной форме, как изображаются вектора тока и напряжения на комплексной плоскости.

Под мгновенным значением мощности p(t) понимают произведение мгновенного значения напряжения u(t) на элементе цепи на мгновенное значение протекающего по элементу тока i(t):

.

2.5. Резистивный элемент.

2.5.1. Пусть ток в резисторе:

.

Мгновенное значение напряжения на резисторе:

Векторы тока и напряжения на резисторе приведены на рис. 2.4б. Закон Ома для резистора имеет вид:

или .

2.5.2. Мгновенная мощность p(t) равна:

Временные диаграммы i(t), u(t), p(t) приведены на рис.2.4в. Мощность р(t) имеет постоянную составляющую или среднее значение, называемое активной мощностью Р:

Активная мощность Р измеряется в ваттах (Вт).

2.5.3. В комплексной форме напряжение на резисторе записывается в виде

Векторы тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис. 2.4г.

2.6. Индуктивный элемент в цепи синусоидального тока.

Индуктивный элемент учитывает явления накапливания энергии магнитного поля и характеризуется зависимостью потокосцепления от тока i:

, измеряется в генри (Гн).

2.6.1. Мгновенное значение напряжения на индуктивности:

Здесь - ЭДС, наводимая изменяющимся во времени магнитным потоком.

Если принять ток в катушке , то напряжение запишется в виде:

.

Векторы тока и напряжения показаны на рис. 2.5б. Напряжение опережает ток в катушке на угол . Закон Ома для индуктивности:

или ,

где - индуктивное сопротивление катушки, измеряется в Омах (Ом). Сопротивление - частично зависимая величина, увеличивается с ростом частоты, рис. 2.5в.

2.6.2. Мгновенная мощность:

Мощность называется реактивной и измеряется в вольт-амперах реактивных (ВАр). Временные диаграммы w(t), i(t) и p(t) для катушки приведены на рис. 2.5г. Средняя мощность равна нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия магнитного поля катушки равна:

Временная диаграмма W(t), приведена на рис. 2.5д. Максимальная энергия магнитного поля катушки:

.

2.6.3. Напряжение на индуктивности в комплексной форме.

Так как напряжение на катушке:

,

то

Здесь - индуктивное сопротивление в комплексной форме.

Оператор отражает дифференцирование напряжения на индуктивности.

Закон Ома в комплексной форме:

или

Вектора тока и напряжения на комплексной плоскости приведены на рис. 2.5е.

2.7. Емкостный элемент в цепи синусоидального тока.

Емкость отражает явление накапливания электрического поля и характеризуется зависимостью заряда q от напряжения u :

2.7.1. Мгновенное значение напряжения на конденсаторе:

Пусть , тогда напряжение на конденсаторе:

Это напряжение отстает от тока на угол .

Векторы тока и напряжения приведены на рис.2.6б.

Закон Ома для емкости:

или ,

где - емкостное сопротивление, измеряется в омах (Ом).

Емкостное сопротивление уменьшается с ростом частоты. Зависимость от частоты приведена на рис. 2.6.в.

2.7.2. Мгновенная мощность на конденсаторе:

Q – реактивная мощность конденсатора. Временные диаграммы , i (t), p (t) приведены на рис. 2.6г.

Среднее значение мощности равно нулю, т.е. рассеивание мощности или потери отсутствуют. Энергия электрического поля в конденсаторе равна:

График приведен на рис. 2.6д.

Максимальная энергия электрического поля равна:

2.7.3. Напряжение на емкости в комплексной форме.

Так как ,

То .

Здесь - емкостное сопротивление в комплексной форме.

Оператор отражает интегрирование тока в формуле напряжения на емкости.

Закон Ома в комплексной форме или . Векторы и приведены на рис. 2.6е.

2.8. Последовательное соединение элементов r, L, C.