Построение эпюр в статически неопределимых системах. Метод перемещений, страница 4

Выполним статическую проверку. Для этого вырежем узлы 4 и 5, а также среднюю часть рамы (рис.7.11,а-в) и убедимся в выполнении условий равновесия.

Как уже говорилось, статическая проверка является достаточным критерием правильности выполненного расчета. Тем не менее, выполним дополнительно кинематическую проверку. Для этого построим суммарную единичную эпюру   в основной системе метода сил (рис.7.11,г). Читателю предоставляется возможность самостоятельно убедиться в том, что результат умножения этой эпюры на окончательную эпюру моментов М (рис.7.10,г) равен нулю.

В заключение отметим, что степень статической неопределимости рассмотренной рамы равна пяти, а это означает, что трудоемкость расчета данной системы методом сил значительно выше, чем при использовании метода перемещений.

Рис.7.11. Статическая проверка (к примеру 7.1)

Пример 7.2. Для рамы с наклонными стойками (рис.7.12,а) построить эпюры M, Q, N при условии, что жесткость ригеля (2-3) в два раза больше, чем жесткость наклонных стоек 1-2 и 3-4.

Определяем степень кинематической неопределимости рамы:

Основную систему образуем путем введения защемления в узле 2 и горизонтального опорного стержня в узле 3 (рис.7.12,б).

Для определения неизвестных перемещений Z₁ и Z₂ по направлениям введенных связей запишем систему канонических уравнений метода перемещений:

Используя вспомогательную таблицу метода перемещений, построим эпюры изгибающих моментов от единичного угла поворота   и от внешней нагрузки (рис.7.12,в,г).

Отметим, что узловая нагрузка   не вызывает изгибающих моментов в основной системе. Для построения эпюры моментов от единичного горизонтального перемещения   второй связи необходимо знать, как перемещаются в этом случае концы стержней рамы. Перемещение узла 3 происходит по направлению, перпендикулярному линии 3-4 (искомое перемещение   является горизонтальной проекцией полного смещения      узла 3), а узла 2 — по направлению, перпендикулярному линии 1-2. В результате этого происходит относительное перемещение узлов 2 и 3 по вертикали.

Рис.7.12. Рама с наклонными стойками (пример 7.2)

Для определения указанных перемещений построим для шарнирной схемы, образованной из заданной рамы (рис.7.13,а), полярный план перемещений (рис.7.13,б). Из этого плана определим взаимное перемещение концов стержней:

Так как введенное защемление препятствует повороту узла 2, то от найденных взаимных смещений произойдет изгиб стержней (рис.7.13,в). Эпюра моментов   может быть теперь построена с помощью вспомогательной таблицы метода перемещений (рис.7.13,г).

Рис.7.13. К примеру 7.2

Коэффициенты r₁₁, r₁₂ и свободный член R_1F определим из условия равновесия узла 2:

Для определения коэффициента  , представляющего собой реакцию во введенном стержне от единичного смещения  , рассмотрим условия равновесия ригеля, отсеченного от стоек. Для этого необходимо определить поперечные и продольные силы, соответствующие эпюре  , вырезав из рамы сначала узел 2, а затем узел 3. Так, условия равновесия узла 2 (рис.7.14,а) дают:

откуда 

откуда 

Условия равновесия узла 3 (рис.7.14,б) позволяют получить:

Аналогично можно определить и свободный член   по эпюре  , вырезая узлы 2 и 3 (рис.7.14,в,г):

Рис.7.14. Определение коэффициентов путем вырезания узлов

Использование статического способа для вычисления коэффициентов   и   для рамы с наклонными стойками приводит, как можно было убедиться из рассматриваемого примера, к усложнению расчетов. Поэтому в подобных случаях целесообразно использовать способ перемножения эпюр:

Для определения свободного члена   способом перемножения эпюр нужно построить эпюру моментов от внешней нагрузки в статически определимой системе, образованной из заданной рамы (рис.7.15,а):

После подстановки вычисленных коэффициентов в уравнения (7.19) получим

откуда

Окончательную эпюру моментов (рис.7.15,б) строим по формуле

Соответствующие ей эпюры поперечных и продольных сил показаны на рис.7.15,в,г.

Рис.7.15. Окончательные эпюры (к примеру 7.2)

Можно самостоятельно убедиться в том, что для окончательных эпюр выполняются статические проверки: в узле 2 изгибающие моменты уравновешены; а силы, действующие на верхнюю отсеченную часть рамы, удовлетворяют условиям равновесия   и 

Пример 7.3. Используя упрощения, связанные с симметрией заданной рамы (рис.7.16,а), построить эпюру изгибающих моментов, при условии, что жесткости всех стержней одинаковы и равны EI.

Степень кинематической неопределимости рамы

При выборе основной системы метода перемещений (рис.7.16,б) используем условия симметрии. Сгруппируем неизвестные углы поворота, т.е. угол поворота узла 2 представим в виде суммы двух углов поворота   и  , а поворот узла  , симметричного узлу 2, — в виде разности углов   и  .

Горизонтальное перемещение ригеля   является обратносимметричным неизвестным, так как узел   при этом смещается от оси симметрии рамы, а симметричный ему узел 2 — к оси симметрии.

Для определения групповых неизвестных  ,   и   запишем систему трех канонических уравнений метода перемещений:

Как видно, форма канонических уравнений при группировке неизвестных остается прежней. Но все эпюры от единичных неизвестных (рис.7.16, в-д) будут только симметричными или обратносимметричными, а канонические уравнения распадутся на две независимые системы, содержащие только симметричные или только обратносимметричные групповые неизвестные. При этом неизвестные перемещения узлов, расположенных на оси симметрии, всегда обладают симметрией или обратной симметрией и поэтому не группируются.

Рис.7.16. Расчет рамы с учетом симметрии (к примеру 7.3)

Значения единичных коэффициентов и свободных членов в уравнениях (7.20) приобретают несколько иной смысл, чем ранее. Здесь   и   — обобщенные реакции, соответствующие обобщенному перемещению   от парного смещения   и от внешней нагрузки. Эти обобщенные реакции определяются как алгебраические суммы простых реакций в связях, которые одновременно смещаются при групповом парном перемещении  . Положительные направления простых реакций принимаются, как и ранее, совпадающими с задаваемыми направлениями перемещений тех связей, в которых они определяются.

При использовании статического способа для коэффициентов и свободных членов канонических уравнений (7.20) получим

где индексами "л" и "n" обозначены соответственно левая (узел 2) и правая (узел  ) дополнительные заделки, в которых определяются обычные реакции (реактивные моменты). Реакции в дополнительном стержне (  и  ) определены из условия равновесия   отсеченного ригеля рамы.

Вследствие равенства нулю четырех коэффициентов система канонических уравнений (7.20) распадается на две системы, а точнее – на систему уравнений относительно неизвестных Z₁ и Z₃ и уравнение относительно Z₂:

В результате решения получим следующее значения неизвестных:

В этом примере обозначено

Окончательная эпюра моментов (рис.65) имеет вид:

Рис.7.17. Окончательная эпюра моментов (к примеру 7.3)