Построение эпюр в статически неопределимых системах. Метод перемещений, страница 3

7.6  Проверки метода перемещений

Так же как и в методе сил, в методе перемещений можно выполнять статическую и кинематическую проверки. Но поскольку основная система метода перемещений кинематически определима, то кинематическая проверка является вспомогательной и выполняется всегда при правильных эпюрах изгибающих моментов в основной системе и при выполненной статической проверке.

Основной проверкой в методе перемещений является проверка равновесия узлов и других частей рамы. Количество проверяемых условий равновесия должно быть не меньше числа неизвестных метода перемещений.

Проверка правильности вычисления коэффициентов при неизвестных системы канонических уравнений метода перемещений выполняется аналогично проверке коэффициентов уравнений при расчете статически неопределимых систем методом сил. Для этого строится суммарная единичная эпюра моментов  .

Умножая эту эпюру последовательно на каждую из единичных эпюр, получим сумму коэффициентов при неизвестных в соответствующем уравнении; так, умножая эпюру   на эпюру  , получим:

Аналогично,  и т.д.

Сумма коэффициентов при неизвестных i-го уравнения должна равняться значению r_is, где

Таким образом, проверка вычисленных значений коэффициентов, входящих в первое каноническое уравнение метода перемещений, состоит в проверке условия

Аналогично проверяются и коэффициенты всех остальных уравнений. Как и в методе сил, такая проверка называется построчной.

Чаще используется универсальная проверка, которая состоит в том, что результат умножения эпюры   на саму себя должен равняться сумме всех коэффициентов при неизвестных системы канонических  уравнений. Действительно,

Для проверки свободных членов канонических уравнений необходимо суммарную единичную эпюру моментов   умножить на эпюру  , построенную от внешней нагрузки в статически определимой системе, полученной из заданной системы или основной системы метода перемещений устранением лишних связей, в том числе обязательно тех связей, реакции в которых определяются:

Результат перемножения (7.15) должен равняться сумме всех свободных членов канонических уравнений:

Достаточной проверкой правильности окончательной эпюры моментов являются, как уже отмечалось, статические проверки, суть которых будет подробно рассмотрена ниже на конкретных примерах.

Можно также выполнить дополнительную кинематическую проверку подобно тому, как это делается в методе сил. Для этого необходимо построить единичные эпюры в основной системе метода сил и перемножить их или суммарную единичную эпюру с окончательной эпюрой изгибающих моментов. При правильном расчете результат такого перемножения должен быть равен нулю. Эта проверка служит контролем правильности принятых для расчета единичных эпюр и грузовой эпюры изгибающих моментов.

7.7  Использование симметрии при расчете рам методом перемещений

При расчете симметричных систем методом перемещений, так же, как и при расчете методом сил, можно применить группировку неизвестных. В этом случае все единичные эпюры будут только симметричными или обратносимметричными. В результате такой группировки канонические уравнения распадаются на две независимые системы, в одну из которых войдут только симметричные, а в другую — обратносимметричные неизвестные.

Расчет еще более упрощается, если разложить внешнюю нагрузку на симметричную и обратносимметричную.

Другой подход состоит в том, что иногда в симметричных конструкциях вместо использования группировки неизвестных дважды рассчитывают половину конструкции. Первый раз симметричной составляющей нагрузки загружают "полуконструкцию", полученную из заданной путем удаления на оси симметрии таких связей, в которых возникают обратносимметричные внутренние силы (обозначим это состояние через С). Второй расчет делается на действие обратносимметричной составляющей внешней нагрузки на такую "полуконструкцию", в которой удалены симметричные связи на оси симметрии (состояние ОС). После этого окончательное состояние одной половины конструкции получают как сумму состояний С + ОС, а другой — как разность состояний С – ОС, найденных в результате двух указанных расчетов.

7.8  Примеры расчетов

Пример 7.1. Для рамы (рис.7.7,а) построить эпюру изгибающих моментов и выполнить все необходимые проверки расчета при условии, что жесткости всех элементов рамы одинаковы и равны EI.

Рис.7.7. К примеру 7.1

Определим число основных неизвестных – степень кинематической неопределимости рамы. Так как число неизвестных угловых перемещений равно числу жестких узлов рамы, то n_y = 2. Число независимых линейных смещений n_л = 1. Действительно, узлы рамы 4 и 5 не могут перемещаться по вертикали из-за опорных закреплений 1 и 2 и принятой гипотезы о нерастяжимости стержней и неизменности их длинны при изгибе. Для них возможно только горизонтальное перемещение, которое будет одинаковым для узлов 4, 5 и 3 вследствие того, что они связаны между собой стержнями 4-5 и  5-3. Таким образом, степень кинематической неопределимости рамы

Образуем основную систему, введя связи, препятствующие угловым и линейному смещениям, и обозначим предполагаемые направления (произвольно) трех неизвестных перемещений (рис.7.7,б). Используя приведенную выше вспомогательную таблицу метода перемещений, построим эпюры изгибающих моментов  , ,   от единичных перемещений введенных связей по заданным направлениям и эпюру   от действия нагрузки на основную систему (рис.7.7,в-е). Для удобства на этих рисунках использованы следующие обозначения:

При построении всех указанных эпюр нужно четко представлять себе перемещение оси каждого стержня, вызванное заданным единичным смещением; это позволит установить положение сжатых волокон элементов рамы и правильно изобразить эпюры моментов.

Система канонических уравнений имеет вид

Для определения коэффициентов и свободных членов этих уравнений, которые представляют собой реактивные усилия в наложенных связях, применим статический способ. Для этого вырежем сначала узел 4 и рассмотрим условия его равновесия в случаях, представленных на рис.7.7,в-е, т.е. определим коэффициенты первой строки канонических уравнений.

На рис.7.8,а-г показан узел 4 с действующими на него моментами со стороны отброшенных частей рамы и реактивными моментами в защемлении (первой связи). Из условий равновесия этого узла получим

Отрицательный знак в двух последних случаях объясняется тем, что направления реактивных моментов   и   противоположны заданному направлению угла поворота Z₁ первой связи.

Аналогично определим коэффициенты второго канонического уравнения. Для этого вырежем из рамы узел 5 и рассмотрим условия его равновесия при тех же четырех воздействиях на основную систему (рис.7.8,в-е).

Рис.7.8. Статический способ определения коэффициентов

Из рис.56,д-з следует

Для определения коэффициентов третьего уравнения, представляющих собой реакции во введенном стержне (третьей связи), рассечем стойки рамы и рассмотрим условия равновесия ее средней части, содержащей введенный стержень (рис.7.9,а-г). При этом под условием равновесия будем понимать равенство нулю суммы проекций всех сил, приложенных к выделенной части рамы, на горизонтальную ось:   Отличные от нуля проекции дадут искомые реакции во введенном стержне и поперечные силы, приложенные в местах рассечения стоек и определяемые по эпюрам  ,  ,  , M_F.

Рис.7.9. Определение коэффициентов методом сечений

Из рис.7.9,а-г следует

Проверку вычисленных коэффициентов и свободных членов можно осуществить способом перемножения эпюр. Для выполнения универсальной проверки построим суммарную единичную эпюру изгибающих моментов  , представляющую собой сумму единичных эпюр  ,  ,   (рис.7.10,а) и перемножим ее саму на себя:

Сумма коэффициентов при неизвестных составляет

т.е. коэффициенты вычислены правильно.

Для проверки свободных членов канонических уравнений необходимо построить эпюру изгибающих моментов   от внешней нагрузки, приложенной в любой статически определимой системе, образованной из заданной рамы, и перемножить ее с эпюрой  :

Два возможных варианта эпюры   представлены на рис.7.10,б,в (возможны и другие варианты статически определимых рам, образованных из заданной, и, соответственно, другие варианты эпюры  ). Легко убедиться, что результат перемножения любой из этих эпюр на эпюру   равен нулю, что также подтверждает правильность вычислений, так как в рассматриваемом примере

Подставляя найденные значения коэффициентов и свободных членов в исходную систему канонических уравнений, получим

Решение системы (7.17) дает следующие значения неизвестных:

Единичные эпюры моментов (рис.7.7,в-д) теперь можно "исправить", т.е. умножить на соответствующие значения неизвестных. При этом вторая эпюра   поменяет знаки, так как z₂ < 0. Окончательную эпюру изгибающих моментов М (рис.7.10,г) построим согласно выражению

Рис.7.10. Суммарная единичная и окончательная эпюры моментов