Построение эпюр в статически неопределимых системах. Метод перемещений, страница 2

Отметим, что при указанных условиях закрепления концов балки коэффициент   не  зависит от характера внешнего воздействия.

Так как   и, следовательно,   то 

Подставляя   и   в каноническое уравнение, находим

Тогда реакции левой опоры и опорный момент будут

Окончательная эпюра моментов для заданной, теперь уже статически определимой системы, загруженной силами F и X₁ (рис.7.3,д), показана на    рис.7.3,е.

2. Загружение равномерно распределенной нагрузкой q (рис.7.4,а) однопролетной статически неопределимой балки (строка 2 вспомогательной таблицы).

Для решения вновь используем метод сил. Эпюра моментов от внешней нагрузки, приложенной к основной системе, показана на рис.7.4,б. Единичная эпюра моментов (и, соответственно, перемещение  ) совпадает с построенной в предыдущем примере (рис.7.3,в).

Уравнение метода сил и его коэффициенты:

Рис.7.4. Однопролетная балка под действием распределенной нагрузки

Здесь при вычислении   использованы эпюры   (рис.7.3,в) и    (рис.7.4,б).

Реакция лишней связи

Реакция левой опоры

Опорный момент в левой опоре получим, просуммировав момент в этом сечении от нагрузки  q с моментом от X₁:

Направление опорных реакций и момента в заделке показаны на рис.7.4,в.  Окончательная эпюра моментов — на рис.7.4,г.

3. Перемещение заделки на величину  по направлению, перпендикулярному оси стержня (рис.7.5,а).

Эпюра изгибающих моментов в основной системе от смещения  будет нулевой, поэтому нулевым будет свободный член уравнения метода сил.

А перемещение по направлению Х₁ (рис.7.5,б) будет

_1=,

и уравнение метода сил принимает вид

где   имеет то же значение, что и ранее.

Отсюда находим реакции     и опорный момент  :

Направления этих величин показаны на рис.7.5,в, а окончательная эпюра моментов — на рис.7.5,г.

При единичном смещении =1 все вычисленные величины принимают значения, указанные в строке 4 вспомогательной таблицы метода перемещений.

Аналогичным образом можно рассчитать однопролетную балку на другие виды воздействий. Предоставив читателю возможность самостоятельно проделать соответствующие расчеты, отметим только, что при рассмотрении балки с двумя защемленными концами (строки 6 – 10 вспомогательной таблицы метода перемещений) целесообразно выбирать основную систему, разрезая балку посредине пролета. Такой разрез, как известно, приводит к появлению трех лишних неизвестных в методе сил — продольной и поперечной сил, а также изгибающего момента. Однако при всех рассматриваемых видах воздействий (вертикальные нагрузки, линейные смещения заделок по нормали к оси балки, поворот заделок) продольная сила будет равна нулю, поэтому решение всех задач приводит к системе двух канонических уравнений метода сил.

Рис.7.5. Смещение одной из опор

4.3  Каноническое уравнение метода перемещений

Представим уравнение (7.3) в развернутой форме. Для этого рассмотрим конкретную систему (рис.7.6,а).

Ее степень кинематической неопределимости

,

где  n_у — число неизвестных углов поворота узлов; n_л — число неизвестных линейных перемещений узлов.

Основную систему метода перемещений получим, вводя две дополнительных связи, одна из которых препятствует угловому перемещению узла, а другая – линейному (рис.7.6,б). Во введенных связях появляются реактивные усилия: момент — в заделке и сила — в стержне. Уравнения, аналогичные уравнениям (4.3), в данном случае имеют вид

Заменим реактивный момент R₁ суммой

Второй индекс у обозначений реакций указывает на то воздействие, которое является причиной появления реакции, т.е. R_1F  — реактивный момент во введенной заделке от действия внешней нагрузки (рис.7.6,в); R₁₁ — реактивный момент во введенной заделке от поворота этой же заделки на угол Z₁; R₁₂ — реактивный момент во введенной заделке от линейного смещения узлов 1 и 2 на величину Z₂.

Реактивные моменты R₁₁ и R₁₂ от Z₁ и Z₂ можно заменить выражениями

где r₁₁ — реактивный момент в заделке от поворота этой же заделки на угол   (т.е. 1 радиан); r₁₂ — реактивный момент во веденной заделке от смещения по горизонтали узла  на величину   (рис.7.6,г,д).

После этой замены первое из уравнений (7.4) получим в виде

Рис.7.6. Выбор основной системы метода перемещений

Производя аналогичное преобразование второго уравнения (7.4), приведем его к виду

В уравнении (7.6) r₂₁ — реактивное усилие во введенном стержне, возникающее от поворота заделки на угол   (рис.7.6,г); r₂₂ — реактивное усилие в стержне от линейного смещения узлов 1 и 2  на величину        (рис.7.6,д); R_2F — реактивное усилие в стержне от действия заданной нагрузки (рис.7.6,в).

Физический смысл первого уравнения состоит в отрицании момента во введенной заделке, а второго — в отрицании усилия во введенном стержне. Вместе эти уравнения образуют систему канонических уравнений метода перемещений для дважды кинематически неопределимой системы. В общем случае, при nнеизвестных, система канонических уравнений метода перемещений имеет вид

В уравнениях (7.7) коэффициенты (реакции)    …,   расположенные на главной диагонали, называются главными; коэффициенты     называются побочными, а свободные члены R_1F, R_2F, …, R_nF  — грузовыми реакциями. В этих уравнениях, так же как и в уравнениях метода сил, коэффициенты при неизвестных, расположенные симметрично относительно главной диагонали, равны друг другу:

Система канонических уравнений метода перемещений отличается от аналогичной системы уравнений метода сил тем, что вместо коэффициентов   и  , выражающих перемещения в основной системе метода сил, в нее входят коэффициенты   и  , выражающие реакции дополнительных закреплений в основной системе метода перемещений, а вместо неизвестных усилий   — неизвестные перемещения  .

7.4  Алгоритм расчета систем методом перемещений

Расчет статически неопределимых систем методом перемещений выполняется в следующей последовательности:

1. Находим степень кинематической неопределимости заданной системы.

2. Выбираем основную систему.

3. Записываем канонические уравнения метода перемещений.

4. Строим единичные и грузовые эпюры изгибающих моментов для основной системы.

5. Определяем коэффициенты и свободные члены системы канонических уравнений.

6. Проверяем правильность вычисления коэффициентов и свободных членов системы канонических уравнений.

7. Вычисляем значения неизвестных метода перемещений.

8. Строим эпюры N, Q, M для заданной системы.

9. Проверяем правильность построения окончательных эпюр.

7.5  Методы вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений

В методе перемещений для вычисления коэффициентов и свободных членов канонических уравнений используются два способа: статический и способ интегрирования эпюр.

При статическом способе реактивные усилия во введенных связях определяют из уравнений равновесия отдельных узлов рамы или ее отсеченной части.

Коэффициенты и свободные члены, представляющие собой реактивные моменты во введенных заделках, определяются вырезанием узлов и составлением уравнений вида

Коэффициенты и свободные члены, представляющие собой реактивные усилия во введенных стержнях, определяются с помощью разреза элементов рамы и составления уравнений равновесия сил, действующих на отсеченную часть:

причем, направление оси L выбирается так, чтобы уравнение получилось наиболее простым. Вычисленное реактивное усилие считается положительным, если его направление совпадает с направлением (соответственно, угловым или линейным) перемещения связи.

Способ интегрирования эпюр целесообразно применять при расчете рам с наклонными элементами. По этому способу коэффициенты при неизвестных определяют путем интегрирования (перемножения по правилу Верещагина) соответствующих единичных эпюр:

Свободные члены канонических уравнений вычисляются в виде

где   — эпюра моментов от нагрузки, построенная в любой статически определимой системе, образованной из заданной.