Раздел 3_2-ПредПогрешность (Лекции ОПиЭНТО)

3.2 Ожидаемая предельная погрешность кинематической цепи

Понятие «ожидаемая предельная погрешность кинематической цепи» используется при вероятностном расчёте. Эта погрешность определяется как предельное значение наибольшей кинематической погрешности цепи  _{K } в рабочем диапазоне углов поворота выходного звена  ₂. В качестве исходных данных при этом расчёте используются статистические данные о первичных погрешностях¹_j и их характеристики - закон распределения, математическое ожидание m(_j) и дисперсия  ²(_j ). Для примера на рис. 1 представлено распределение случайной величины по нормальному закону. Из рисунка видно, что предельное значение случайной величины _jmax имеет смысл только в понимании «ожидаемое предельное значение», так как в этом законе, строго говоря, отсутствует предельное значение как таковое. Однако с вероятностью р=0,9973 в качестве ожидаемого предельного значения случайной величины _j принимают _jmax = m(_j)+3(_j). Для закона распределения Рэлея: _jmax = m(_j)+2,78 (_j). Принимая во внимание, что в этом законе _jmin = 0, ожидаемое предельное значение первичной погрешности может быть определено как _jmax =5,26 (_j).

Для любого (рассмотренного нами в курсе лекций) закона распределения первичной погрешности можно записать в общем виде выражение для определения ожидаемой предельной погрешности

_{j max} = m(_j )+0,5D_ЗР(_j ), (1)

где D_ЗР – коэффициент, определяющий диапазон наиболее вероятных значений случайной величины; зависит от закона распределения этой величины (так для нормального закона D_ЗР =6, для законы Рэлея - D_ЗР =5,26 и т.п.).

Расчёт ожидаемой предельной погрешности производится для оценки точностных параметров привода в следующих случаях:

а) на этапе проектирования нового привода, когда известны лишь статистические данные о первичных погрешностях кинематических звеньев, которые будут использоваться в приводе;

б) на этапе эксплуатации при замене одного или нескольких элементов на другие из запасного комплекта или набора сменных зубчатых колёс, когда известны статистические данные о первичных погрешностях запасного комплекта или набора зубчатых колёс.

Рассмотрим методику расчета для каждого случая.

Расчёт ожидаемой предельной погрешности на этапе проектирования нового привода. Задача сводится к определению величины  (см. таблицу «Распределение случайной величины Y=Xcos()»). При этом

 =C_j_{j max} , (2)

где C_j – коэффициент, преобразующий первичную погрешность в кинематическую угловую погрешность; _jmax – ожидаемое предельное значение первичной погрешности, рассчитанное по формуле (1).

Ожидаемую предельную погрешность всей цепи рассчитывают по формуле:

 _{K } = ^P(_jmi_jm), (3)

где m=1…P – кинематические звенья, первичные погрешности которых распределяются по соответствующему закону; _j - ожидаемое предельное значение погрешности j-того звена кинематической цепи; i_j - передаточное отношение, связывающее j-тое и конечное (выходное) звенья кинематической цепи.

Расчёт ожидаемой предельной погрешности привода при замене его элементов на другие из запасного (или сменного) комплекта зубчатых колёс. Данный расчёт является частным случаем предыдущего расчета. Это становится понятным после внимательного рассмотрения структуры любого привода. Известно, что он состоит из постоянных звеньев (в формулах они помечены индексами const) и сменяемых (c индексами var), т.е. погрешность угла повороты выходного звена кинематической цепи равна

 _{K } = _{K  const}+ _{K  var} (4)

Предполагается, что предельная погрешность (т.е. амплитудное значение погрешности) каждого j-того постоянного звена известна и равна  _j. Однако эта постоянная величина, в сущности, равна  (см. таблицу в ячейке для постоянной величины). Что касается ожидаемых предельных значений погрешности сменяемых звеньев, то они определяются так же, как в предыдущем случае, т.е. используются вероятностные характеристики первичной погрешности и по формулам (2) и (3) находят ожидаемую предельную погрешность заменяемых элементов привода.

В соответствии с этим, получим

 _{K } = ^-V _j i_j + ^V(_jMi_jM) или

 _{K } =  ^P(_jmi_jm), (5)

где  - общее количество кинематических звеньев цепи; V – количество переменных (заменяемых) звеньев; M=1…V₁ – кинематические звенья, подлежащие замене.

1 Первичная погрешность – погрешность изготовления или сборки элементов кинематической цепи. По-существу, является причиной кинематической погрешности.