SK3 (1) (Лекции в формате Word), страница 2

который характеризует ширину сечения (среднее расстояние материала в сечении от оси изгиба). для двутавра с тонкой стенкой высотой h; для тонкой трубы радиусом r .

Длина ℓ в формуле (98) зависит от условий закрепления стержня. Для стойки, защемленной на одном конце (рис. 65, а); для стойки, защемленной на обоих концах (рис. 65, б). Общее правило - ℓ равна лине полуволны, образующейся при потере устойчивости (рис. 65, в). В случае стойки Эйлера (см. рис. 64). Общая формула

, (100)

где - коэффициент приведения длины стойки к схеме Эйлера.

Рис. 65. Влияние закреплений на устойчивость стойки

Почему при потере устойчивости всегда образуется минимально возможное при заданных закреплениях число волн? Потому, что чем больше длина волны, тем меньше критическая сила по формуле Эйлера.

Метод определения коэффициента приведения дины следующий:

1. рисуем ожидаемую линию искривления стойки: плавную кривую с минимальным количеством перегибов;

2. находим самую длинную полуволну на кривой;

3. коэффициент равен отношению длины этой полуволны ко всей длине стойки.

3.4.3. Расчет статической прочности и устойчивости центрально сжатой стойки со сплошным сечением

Чтобы обеспечить устойчивость, необходимо выбрать допускаемые напряжения по критическим с некоторым запасом:

. (101)

Однако при малых значениях гибкости найденное таким способом допускаемое напряжение превысит предел текучести и предел прочности стали (рис. 66). Поэтому условие устойчивости надо дополнить условием статической прочности.

Рис. 66. Сопоставление условий устойчивости и статической прочности

Совмещение двух условий обеспечивают введением в расчет коэффициента понижения допускаемых напряжений при работе на устойчивость

. (102)

Этот коэффициент зависит от гибкости стойки и предела текучести стали и дает плавный переход от условия статической прочности к условию устойчивости (рис. 67). Формула

(103)

обеспечивает проверку одновременно как условия статической прочности, так и условия устойчивости. Значения коэффициента приведены в СНиП II-23-81 в виде формулы и в таблице в зависимости от гибкости стойки и допускаемого напряжения стали по условию статической прочности . В СНиП II-23-81 называется расчетным сопротивлением текучести и обозначается .

Рис. 67. Зависимости коэффициента от гибкости стойки для разных сталей

Недостатком формулы (103) является иллюзия, что устойчивость можно обеспечить как за счет повышения , так и за счет выбора более прочной стали (повышения ). Как видно из рис. 68, произведение при большой гибкости конструкции не зависит от . Из свойств материала оно зависит только от модуля упругости Е (см. формулу 101). Поэтому устойчивость алюминиевых стоек хуже, чем сварных (модуль упругости алюминия в 3 раза меньше), а устойчивость стоек из разных марок стали одинаковая.

Рис. 68. Зависимости произведения от гибкости стойки для разных сталей

3.4.4. Пример проверочного расчета стойки на устойчивость

Дано (см. рис. 64): , , , , .

Проверка устойчивости стойки:

; ;

по таблице находим ;

: устойчивость обеспечена.

3.4.5. Подбор сечения при проектном расчете стойки

При проектном расчете применяется метод проб и ошибок:

1. Задаемся значением (например, )

2. Определяем необходимую площадь сечения

3. Выбираем сечение с ;

4. Определяем для этого сечения ;

5. Определяем ;

6. Определяем ;

7. Определяем по таблице для заданных и ;

8. Повторяем пункты 2 – 7 до тех пор, пока не получим

При этом полученное значение свидетельствует о степени использования прочности металла. Низкие значения значения указывают на плохую форму сечения или на неудачную схему закрепления стойки.

Чтобы предотвратить такие решения, в СНиП II-23-81 введено ограничение на гибкость сжатых элементов

, (104)

где - степень нагруженности стойки при работе на устойчивость. Если напряжение в стойке сжимающее и близкое к допускаемому, то и значение не должно превышать 120. Для слабо нагруженных ( ) и растянутых стержней допускается повышение (в пределах 180).

3.4.6. Расчет стойки со сплошным сечением при внецентренно приложенной силе

Для обеспечения прочности и устойчивости стойки, нагруженной сжимающей силой и изгибающим моментом, проводят три проверки:

1. Проверка прочности при внецентренном сжатии

. (105)

1. Проверка устойчивости в плоскости действия момента

. (106)

Коэффициент учитывает относительный эксцентриситет приложения силы относительно оси x - и определяется по таблице, приведенной в СНиП II-23-81. Дополнительный поправочный коэффициент учитывает форму сечения и также приведен в СНиП II-23-81 в виде таблицы. Условная гибкость

(107)

обеспечивает совместный учет еще двух факторов: гибкости в плоскости действия момента и допускаемого напряжения стали по условию статической прочности . За счет такой поправки таблица применяется для сталей с различным прелом текучести.

1. Проверка устойчивости в плоскости наибольшей гибкости (изгибо – крутильная форма потери устойчивости). Эта проверка нужна, если плоскость наибольшей гибкости не совпадает с плоскостью действия момента:

. (108)

- определяется по той же таблице, что и при центральном сжатии.

Коэффициент с учитывает влияние момента и определяется по формуле

, (109)

где , - коэффициенты, зависящие от формы сечения, типичные их значения , . Изгибающий момент, хотя и действует в другой плоскости, создает дополнительное сжатие на части сечения и тем способствует потере устойчивости.

При изгибе стойки в 2 направлениях (действии двух моментов) проводятся те же три проверки, но в несколько измененном виде. Вначале необходимо найти гибкость и относительный эксцентриситет по двум осям: и ; и , причем и необходимо брать для точек с максимальным сжимающим напряжением.

1) Проверка прочности при внецентренном сжатии

. (110)

2) Проверка устойчивости в плоскости действия наибольшего момента требуется в том случае, если . При этой проверке действие меньшего момента не учитывается.

. (106)

3) Проверка устойчивости в плоскости наибольшей гибкости с учетом двух моментов:

. (111)

Вначале определяется коэффициент учитывающий наибольшую гибкость и относительный эксцентриситет в плоскости наибольшей гибкости , затем коэффициент

, (109)

учитывающий действие второго момента и

. (112)

Проектный расчет проводится, как правило, методом последовательных приближений. Здесь многие моменты изложены в упрощенной форме, более точные и сложные формулы можно найти в СНиП II-23-81.

3.4.7. Расчет устойчивости стойки с составным сечением

Если у такой стойки одна ось материальная, то относительно этой оси расчеты проводятся так же, как для сплошного сечения.

При расчете устойчивости относительно свободной оси определяют по приведенной гибкости

, (113)

где - гибкость относительно свободной оси, вычисляемая по формулам, как для сплошного сечения (для всего сечения стойки); - гибкость одной ветви относительно ее центральной оси, параллельной свободной оси сечения стойки (рис. 69) , где - радиус инерции одной ветви относительно оси 1, - свободная длина ветви (расстояние между соединительными пластинами). выбирают так, чтобы гибкость одной ветви была .

Рис. 69. Схема определения параметров стоек с составными сечениями

Из формулы (113) следует, что наличие собственной гибкости ветвей в промежутках между соединительными элементами увеличивает общую гибкость стойки относительно свободной оси. При двух свободных осях

, (114)

где и гибкости одной ветви относительно ее центральных осей 1 и 2 (см. рис. 69), параллельных главным осям сечения стойки. Таким образом, при появлении еще одной свободной оси увеличивается гибкость стойки по обеим осям.

3.4.8. Понятие равноустойчивости

При расчете на центральное сжатие, в качестве расчетного принимают большее из двух значений: гибкости относительно материальной оси и приведенной гибкости относительно свободной оси. При сжатии первым теряет устойчивость элемент с наибольшей гибкостью. Равноустойчивостью называется такое соотношение размеров стойки, при которой гибкость ее ветви равна гибкости всей стойки: . Гибкость всей стойки и ветвей . Если гибкость ветви меньше , то к моменту потери устойчивости всей стойки потеря устойчивости ветви не произойдет и не снизит общую устойчивость стойки. В СНиП II-23-81 взамен условия равноустойчивости введено ограничение гибкости ветви (подразумевается, что при этом ). Кроме того, допускается рассчитывать гибкость как для сплошного сечения ( ) при , если при этом .

3.4.9. Расчет соединительных элементов