ГДЗ №2 Вариант 5
Описание файла
Документ из архива "ГДЗ №2 Вариант 5", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "основы метода конечных элементов" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "курсовые/домашние работы", в предмете "основы метода конечных элементов" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "ГДЗ №2 Вариант 5"
Текст из документа "ГДЗ №2 Вариант 5"
Министерство образования и науки Российской Федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
| | «Московский государственный технический университет (МГТУ им. Н.Э. Баумана) |
АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ
КАФЕДРА
«Вычислительная математика и математическая физика»
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №2
по дисциплине
«Основы метода конечных элементов»
Вариант №5
Выполнил: студент 4 курса, гр. АК3-71
Зиневич М. С.
Проверил: к.т.н., доцент каф. ФН-11
Шпакова Ю. В.
МОСКВА 2015
Содержание
1.Постановка задачи стр. 2
2. Математическая модель стр. 3
3. Численная реализация задачи теплопроводности методом конечных элементов стр. 5
4. Алгоритм решения задачи с использованием ЭВМ стр.8
5. Метод Холецкого для решения СЛАУ. стр 10.
6. Результаты решения задачи теплопроводности стр 13.
7.Вывод ы стр 15.
8. Список литературы стр 16.
Постановка задачи.
Дана исследуемая область (Рисунок 1) с граничными условиям (Tсреды или Tср равносильно теплообмену со средой). Геометрические параметры области A, B, L, a, b, l [см] задаются самостоятельно. Воздействие теплового потока принять равным 
, коэффициент теплоотдачи от стенки к среде 
; T – заданная температура стенки, 150 
; 
- температура окружающей среды, 22 . Кроме того, задан коэффициент теплопроводности 
. Требуется найти распределение температуры в исследуемой области: свести задачу к решению СЛАУ и решить СЛАУ, используя метод Холецкого для разреженных матриц.
Рис.1 – Исследуемая область
-
Математическая модель
Стационарное уравнение теплопроводности в двумерном случае
Описывается уравнением:
(1)
где 
[
]-температура,
[(
)] - коэффициенты теплопроводности,
Граничные условия:
1. Если на границе задан конвективный теплообмен. Конвективный теплообмен-процесс переноса тепла, происходящий в движущихся текучих средах(жидкостях или газах) (теплообмен с окружающей средой). Конвективный теплообмен характеризуется величиной
-коэффициент теплообмена,
[ ]-температура окружающей среды.
2.На границе задан тепловой поток 
, то есть извне подводится тепло. Тепловой поток положителен, если тепло отводится от тела.
Граничные условия п. 2 и 3 записываются с помощью смешанного условия:
(2)
где
единичный вектор внешней нормали к поверхности. Если конвективный теплообмен отсутствует, то есть отсутствует обмен тепла с окружающей средой и поток тепла равен нулю, условие на границе приобретает вид 
- условие теплоизолированности границы.
Решение уравнения (1) граничными условиями (2) эквивалентно отысканию минимума функционала
(3)
Записывая минимум функционала 
, получим СЛАУ относительно узловых значений:
Элементарная матрица системы имеет вид:
, (4)
, (5)
где
- локальная матрица характеристик элемента,
, 
-матрица формы.
-
Численная реализация задачи теплопроводности методом конечных элементов
Покажем подробно на отдельном типовом треугольном конечном элементе основные этапы обработки элемента, связанные с аппроксимациями и построением характеристических матриц.
Рассмотрим отдельный конечный элемент (Рис.2).
Р
ис.2
Аппроксимацию основной переменной 
на конечном элементе зададим в виде полного полинома первой степени
, (6)
где 
коэффициенты полинома.
Представим линейную интерполяцию (6) так, чтобы в качестве неизвестных выступали не 
, а значения функции 
в точках 1, 2, 3, т.е. 
,
,
. Для этого подставим координаты узлов в (6), в результате чего получим систему
Используя метод Крамера, получим:
, (7)
где
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-удвоенное значение площади конечного элемента.
Перегруппируем в (6) слагаемые относительно 
.
(8)
Основное свойство матрицы формы N:
Подставим матрицу 
в (4):
(9)
Тогда условие подведения тепла на границе примут вид:
(10)
Причем для вычисления интеграла по границе будет использоваться формула:
(11)
Условие конвективного теплообмена :
(12)
(13)
(14)
=
(15)
=
(16)
=
(17)
Условие, если на границах задан тепловой поток :
=
(18)
=
(19)
=
(20)
Схема составления глобальной матрицы жёсткости.
Локальная матрица жесткости i-го элемента имеет вид:
, (21)
Тогда
, (22)
где 
-номера узлов i-го элемента,m-число элементов.
Схема составление глобальной правой части.
Локальная правая часть i-го элемента имеет вид:
. (23)
Тогда
, (24)
где -номера узлов i-го элемента,m-число элементов.
-
Алгоритм решения задачи с использованием ЭВМ
1.)Разбиение области на конечные элементы (рисунок 3):
Рис. 3 – Дискретизация области
2) Нумеруем узлы элементов.
Приведем пример нумерации узлов для элементов-1,2,3,4.
| № элемента | 1 узел | 2 узел | 3 узел |
| 1 | 6 | 2 | 1 |
| 2 | 2 | 6 | 7 |
| 3 | 7 | 3 | 2 |
| 4 | 3 | 7 | 8 |
3)Составление локальной матрицы жесткости и локальной правой части.
Приведем пример для элемента №1(узлы 6, 2, 1) и №41(узлы 34, 26, 25). (Реализация на c++)
b[1] = y[2] - y[3];
b[2] = y[3] - y[1];
b[3] = y[1] - y[2];
c[1] = x[3] - x[2];
c[2] = x[1] - x[3];
c[3] = x[2] - x[1];
OMEGA = (x[2]*y[3]-x[3]*y[2]+x[1]*y[2]-x[1]*y[3]+x[3]*y[1]-x[2]*y[1])/2.0;
Составление локальной матрицы жесткости:
for (int i(1); i <= 3; i++)
{
for (int j(1); j <= 3; j++)
{
k_1[i][j] = (lam / (4.0 * OMEGA))*(b[i] * b[j] + c[i] * c[j]);
}
}
Локальная правая часть:
for (int i(1); i <= 3; i++) b[i] = 0;
Составления локальной матрицы жесткости и локальной правой части для элемента 41:
for (int i(1); i <= 3; i++) b[i] = 0;
case 41:
{
for (int i(1); i <= 3; i++)
{
for (int j(1); j <= 3; j++)
{
k_2[i][j] = (a_g*sqrt(pow(x[3] - x[2], 2) + pow(y[3] - y[2], 2)) / 6.0)*ghost_2_3[i][j];
}
b[2] = (a_g*T_g*sqrt(pow(x[3] - x[2], 2) + pow(y[3] - y[2], 2)) / 2.0);
b[3] = (a_g*T_g*sqrt(pow(x[3] - x[2], 2) + pow(y[3] - y[2], 2)) / 2.0);
}
for (int i(1); i <= 3; i++)
{
for (int j(1); j <= 3; j++)
{
k_i_j[i][j] = k_1[i][j] * L + k_2[i][j] * L;//Локальная матрица жёсткости
}
}
break;
}
4) Собираем локальные матрицы жесткости в глобальную матрицу жесткости и локальные правые части в глобальные правые части.
for (int i(1); i <= m; i++)//Текущий элемент
{
for (int j(1); j <= 3; j++)
{
s[j] = elements[i][j];//Номера узлов текущего элемента
}
s[j]-номера узлов текущего (i-го) элемента(всего m=96 элементов).
Формирование глобальной матрицы жесткости
for (int j(1); j <= 3; j++)
{
for (int r(1); r <= 3; r++)
{
int t = s[j],p=s[r];
K[t][p] += k_i_j[j][r];
}
}
Формирование глобального вектора правой части
for (int j(1); j <= 3; j++)
{
int t = s[j];
f[t] += b[j];
}
Далее решаем СЛАУ относительно узловых значений:
-
Метод Холецкого для решения СЛАУ.
Описание метода.
Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод Холецкого (метод квадратных корней). В основе метода лежит алгоритм специального LU-разложения матрицы A, в результате чего она приводится к виду 
.Если разложение получено, то как и в методе 
-разложения, решение системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами: 
и 
. Для нахождения коэффициентов матрицы 
неизвестные коэффициенты матрицы 
приравнивают соответствующим элементам матрицы 
. Затем последовательно находят требуемые коэффициенты по формулам:
,
,
,
,
,
,
...............
,
,
Реализация метода на ЭВМ.
double **l_matrix;
l_matrix = new double*[n];
for (int i(1); i < n; i++) l_matrix[i] = new double[m];
l_matrix[1][1] = sqrt(a[1][1]);
for (int j = 2; j < n; j++) l_matrix[j][1] = a[j][1] / l_matrix[1][1];
for (int i = 2; i < n; i++)
{
double sum = 0;
for (int p = 1; p <= i - 1; p++)
{
sum += pow(l_matrix[i][p], 2);
}
