ГДЗ №2 Вариант 3

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана» (МГТУ им. Н.Э. Баумана)

АЭРОКОСМИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

КАФЕДРА

«Вычислительная математика и математическая физика»

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ №1

по дисциплине

«Методы конечных элементов »

Вариант № 3

Студент: ________________ Волков М.Н.

Группа АК3-71

Руководитель: ___________________ Шпакова Ю. В.

МОСКВА 2015

Содержание

1. Постановка задачи стр. 2

2. Математическая модель стр. 3

3. Решение задачи теплопроводности стр. 5

4. Численная реализация задачи теплопроводности методом конечных элементов стр.7

5. Алгоритм решения задачи с использованием ЭВМ стр. 11

6. Метод Холецкого для решения СЛАУ. стр. 15

7. Реализация метода на ЭВМ. стр. 16

8. Результаты решения задачи теплопроводности стр. 18

9. Выводы стр.20

10. Список литературы стр. 21

1. Постановка задачи.

Дана исследуемая область (Рис. 1) с граничными условиям (Tсреды или Tср равносильно теплообмену со средой). Геометрические параметры области A, B, L, a, b, l [см] задаются самостоятельно. Воздействие теплового потока принять равным , коэффициент теплоотдачи от стенки к среде ; T – заданная температура стенки, 150 ; - температура окружающей среды, 22 . Кроме того, задан коэффициент теплопроводности . Требуется найти распределение температуры в исследуемой области: свести задачу к решению СЛАУ и решить СЛАУ, используя метод Холецкого для разреженных матриц.

Рис.1 – Исследуемая область

1. Математическая модель

Рассмотрим двумерную краевую задачу:

, (1)

С граничными условиями вида:

-подвод тепла к телу

-теплообмен со средой (граничные условия 3 рода)

где область, изображенная на Рис. 2.

Рис.2

Для решения задачи составим невязку для уравнения (1):

, (2)

Проверим, что выполняется условие:

, (3)

Подставим (2)в (3):

, (4)

Запишем формулу Гаусса-Остроградского:

(5)

Проинтегрируем по частям:

(6)

Подставим (6) в (5):

(7)

Подставим (7) в (4), с учётом :

(8)

Введем оператор (9)

Кроме того, учтём ,что на некоторой части границы Г заданы краевые условия:

(10)

Перепишем (8) с учётом (9)и (10):

(11)

Далее разобьем область Ω на треугольники и перенесем задачу на область одного такого элемента:

(12)

1. Решение задачи теплопроводности

Рассмотрим частный случай двумерной задачи (1) – задачу теплопроводности:

, (13)

Краевые условия принимают вид:

,

Где T-функция температуры,

h-коэффициент теплообмена,

Тср-температура среды,

-коэффициенты теплопроводности.

Запишем (8) для задачи теплопроводности, учитывая, что и что внутренние источники тепла в нашем случае отсутствуют.

Границу рассматриваемой области, к которой подводится тепловой поток, обозначим , а границу, на которой происходит теплообмен со средой- :

(14)

Сведем интегральную задачу к СЛАУ вида

, (15)

где

(16)

-заданные условия

- локальная матрица характеристик элемента,

-матрица формы,

.

Так как матрицы B и D не зависят от координат элемента:

, (17)

где - площадь одного конечного элемента

1. Численная реализация задачи теплопроводности методом конечных элементов

Покажем подробно на отдельном типовом треугольном конечном элементе основные этапы обработки элемента, связанные с аппроксимациями и построением характеристических матриц.

Рассмотрим отдельный конечный элемент (Рис.3).

Р
ис.3

Аппроксимацию основной переменной на конечном элементе зададим в виде полного полинома первой степени

, (18)

где коэффициенты полинома.

Представим линейную интерполяцию (6) так, чтобы в качестве неизвестных выступали не , а значения функции в точках 1, 2, 3, т.е. , , . Для этого подставим координаты узлов в (6), в результате чего получим систему

Используя метод Крамера, получим:

, (19)

где

-удвоенное значение площади конечного элемента.

Перегруппируем в (19) слагаемые относительно .

(20)

Основное свойство матрицы формы N:

Подставим матрицу в (16):

(21)

Тогда условие подведения тепла на границе примут вид:

(22)

Причем для вычисления интеграла по границе будет использоваться формула:

(23)

Условие конвективного теплообмена :

(24)

(25)

(26)

= (27)

= (28)

= (29)

Условие, если на границах задан тепловой поток : = (30-32)

Схема составления глобальной матрицы жёсткости.

Локальная матрица жесткости i-го элемента имеет вид:

, (33)

Тогда

, (34)

где -номера узлов i-го элемента,m-число элементов.

Схема составление глобальной правой части.

Локальная правая часть i-го элемента имеет вид:

(35)

Тогда

, (36)

где -номера узлов i-го элемента,m-число элементов.

1. Алгоритм решения задачи с использованием ЭВМ

1. Разбиение области на конечные элементы (Рис. 4):

Рис. 4 – Дискретизация области

1. Нумеруем узлы элементов.

1	6	2	1		23	19	15	14		45	35	31	34
2	2	6	7		24	15	19	20		46	31	35	32
3	7	3	2		25	21	17	16		47	36	32	35
4	3	7	8		26	17	21	22		48	32	36	33
5	8	4	3		27	22	18	17		49	38	34	37
6	4	8	9		28	18	22	23		50	34	38	35
7	9	5	4		29	23	19	18		51	39	35	38
8	5	9	10		30	19	23	24		52	35	39	36
9	11	7	6		31	24	20	19		53	41	37	40
10	7	11	12		32	20	24	25		54	37	41	38
11	12	8	7		33	26	22	21		55	42	38	41
12	8	12	13		34	22	26	27		56	38	42	39
13	13	9	8		35	27	23	22		57	44	40	43
14	9	13	14		36	23	27	28		58	40	44	41
15	14	10	9		37	28	24	23		59	45	41	44
16	10	14	15		38	24	28	29		60	41	45	42
17	16	12	11		39	29	25	24		61	47	43	46
18	12	16	17		40	25	29	30		62	43	47	44
19	17	13	12		41	32	16	31		63	48	44	47
20	13	17	18		42	16	32	21		64	44	48	45
21	18	14	13		43	33	21	32
22	14	18	19		44	21	33	26

1. Составление локальной матрицы жесткости и локальной правой части.

Приведем пример для элемента №5 и №40 (Реализация на С++)