ГДЗ №2 Вариант 3 (1051185), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

b[1] = y[2] – y[3];

b[2] = y[3] – y[1];

b[3] = y[1] – y[2];

c[1] = x[3] – x[2];

c[2] = x[1] – x[3];

c[3] = x[2] – x[1];

OMEGA = (x[2]*y[3]-x[3]*y[2]+x[1]*y[2]-x[1]*y[3]+x[3]*y[1]-x[2]*y[1])/2.0;

Составление локальной матрицы жесткости:

for (inti(1); i<= 3; i++)

{

for (int j(1); j <= 3; j++)

{

k_1[i][j] = (lam / (4.0 * OMEGA))*(b[i] * b[j] + c[i] * c[j]);

}

}

Локальная правая часть:

for (int i(1); i <= 3; i++) b[i] = 0;

Составления локальной матрицы жесткости и локальной правой части для элемента 5:

for (int i(1); i <= 3; i++) b[i] = 0;

case 5:

{

b[2] = (q*sqrt(pow(x[3] - x[2], 2) + pow(y[3] - y[2], 2)) / 2.0);

b[3] = (q*sqrt(pow(x[3] - x[2], 2) + pow(y[3] - y[2], 2)) / 2.0);

for (int i(1); i <= 3; i++)

{

for (int j(1); j <= 3; j++)

{

k_i_j[i][j] = k_1[i][j];//Локальная матрица жёсткости

}

}

break;

}

Составления локальной матрицы жесткости и локальной правой части для элемента 40:

for (int i(1); i <= 3; i++) b[i] = 0;

case 40:

{

for (int i(1); i <= 3; i++)

{

for (int j(1); j <= 3; j++)

{

k_2[i][j] = (a_g*sqrt(pow(x[3] - x[1], 2) + pow(y[3] - y[1], 2)) / 6.0)*ghost_1_3[i][j];

}

b[1] = (a_g*T_g*sqrt(pow(x[3] - x[1], 2) + pow(y[3] - y[1], 2)) / 2.0);

b[3] = (a_g*T_g*sqrt(pow(x[3] - x[1], 2) + pow(y[3] - y[1], 2)) / 2.0);

}

for (int i(1); i <= 3; i++)

{

for (int j(1); j <= 3; j++)

{

k_i_j[i][j] = k_1[i][j] + k_2[i][j];//Локальная матрица жёсткости

}

}

break;

}

1. Собираем локальные матрицы жесткости в глобальную матрицу жесткости и локальные правые части в глобальные правые части.

For (inti(1); i <= m; i++)//Текущийэлемент

{

for (int j(1); j <= 3; j++)

{

s[j] = elements[i][j];//Номераузловтекущегоэлемента

}

s[j]-номера узлов текущего (i-го) элемента(всего m=64 элемента).

Формирование глобальной матрицы жесткости

for (intj(1); j<= 3; j++)

{

for (int r(1); r <= 3; r++)

{

int t = s[j],p=s[r];

K[t][p] += k_i_j[j][r];

}

}

Формирование глобального вектора правой части

for (intj(1); j<= 3; j++)

{

int t = s[j];

f[t] += b[j];

}

Далее решаем СЛАУ относительно узловых значений:

1. Метод Холецкого для решения СЛАУ.

Описание метода.

Если матрица системы является симметричной и положительно определенной, то для решения системы применяют метод Холецкого (метод квадратных корней). В основе метода лежит алгоритм специального LU-разложения матрицы A, в результате чего она приводится к виду .Если разложение получено, то как и в методе -разложения, решение системы сводится к последовательному решению двух систем с треугольными матрицами: и . Для нахождения коэффициентов матрицы неизвестные коэффициенты матрицы приравнивают соответствующим элементам матрицы . Затем последовательно находят требуемые коэффициенты по формулам:

,

, ,

,

, ,

...............

, ,

1. Реализация метода на ЭВМ.

Составление матрицы L, в разложении

double **l_matrix;l_matrix = new double*[n];

for (int i(1); i < n; i++) l_matrix[i] = new double[m];

l_matrix[1][1] = sqrt(a[1][1]);for (int j = 2; j < n; j++) l_matrix[j][1] = a[j][1] / l_matrix[1][1];

for (int i = 2; i < n; i++)

{

double sum = 0;

for (int p = 1; p <= i – 1; p++)

{sum += pow(l_matrix[i][p], 2);}

l_matrix[i][i] = sqrt(a[i][i] – sum);

for (int j = i + 1; j < n; j++)

{

double sum = 0;

for (int p = 1; p <= i – 1; p++)

{

sum += l_matrix[i][p] * l_matrix[j][p];}

l_matrix[j][i] = (a[j][i] – sum) / l_matrix[i][i];

}}

Решениеуравнения

double *x = new double[n];

x[1] = b[1] / l_matrix[1][1];

for (int i = 2; i < n; i++)

{

x[i] = b[i];

for (int j = 1; j < i; j++)

{x[i] -= l_matrix[i][j] * x[j];}

x[i] /= l_matrix[i][i];

}

Транспонирование матрицы L

for (int i(1); i < n; i++)

{

for (int j(i); j < m; j++)

{

doublebuf = l_matrix[i][j];

l_matrix[i][j] = l_matrix[j][i];

l_matrix[j][i] = buf;

}

}

for (int i(1); i < n; i++)

{b[i] = x[i];}

x[n – 1] = b[n – 1] / l_matrix[n – 1][m – 1];

Решение уравнения

for (int i = n – 2; i >= 1; i--)

{

x[i] = b[i];

for (int j = m – 1; j > i; j--)

{

x[i] -= l_matrix[i][j] * x[j];

}

x[i] /= l_matrix[i][i];

}

for (int i(1); i < n; i++)

{

std::cout<< “x[“ << i << “]_=” << x[i] <<std::endl;

}}

1. Результаты решения задачи теплопроводности

В результате решения задачи были получены следующие распределения температуры в исследуемой области (рис. 5):

Рис. 5 – Распределение температуры в области с использованием треугольного симплексного конечного элемента

Сравним данные результаты с разультатами полученными в ДЗ№1, с использованием дискретных одномерных элементов (рис. 6).

Рис. 6 – Распределение температуры в области с использованием одномерного конечного элемента

1. Выводы

Используя метод конечных элементов мы решили задачу теплопроводности в заданной области двумя способами:

1. с использованием одномерного конечного элемента

2. с использованием треугольного симплексного конечного элемента

Сравненивая температуры полученные при использовании обоих методов видим, что их разница не превышает величины , следовательно было выбранно достаточное колличество узлов для того, что бы оба метода дали точный результат.

10. Список литературы

1. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов.М.: Мир, 1979.— 392 с.

Характеристики

Список файлов домашнего задания