Постников В.М. - Методические указания по выполнению ДЗ №2 - Выбор варианта развития АСОИиУ, страница 2

Следует иметь в виду, что любая матрица парных сравнений факторов, составленная ЛПР, должна обладать следующими свойствами:

1) матрица должна быть квадратной и положительной;

2) все элементы главной диагонали матрицы должны быть равны единице;

3) любые два элемента матрицы парных сравнений ,симметричные относительно ее главной диагонали, должны быть связаны между собой следующим соотношением , которое следует из основного правила заполнения матрицы;

4) для любых элементов , , матрицы парных сравнений должно выполняться условие согласованности элементов, которое имеет следующий вид:

5) для любых элементов , , матрицы парных сравнений должны выполняться условия транзитивности элементов, согласно которым, если и , то

Матрицу парных сравнений факторов, удовлетворяющую всем перечисленным свойствам, называют согласованной.

Этап 3 Вычисление коэффициентов важности факторов.

На третьем этапе ЛПР сначала вычисляет коэффициенты важности критериев, а затем коэффициенты важности исходных вариантов по каждому из этих критериев.

Для этого ЛПР последовательно вычисляет собственные вектора как критериев , так и каждого исходного варианта ( ) по каждому критерию ( ) , т.е. , по следующим выражениям

(1)

(2)

Всего вычисляется значений собственных векторов

Далее ЛПР выполняет нормирование значений собственных векторов всех факторов и определяет коэффициенты важности (или весовые коэффициенты) этих факторов по следующим выражениям

(3)

(4)

где - весовой коэффициент -го критерия

- весовой коэффициент -го варианта по -му критерию

Этап 4 Определение наилучшего варианта решения

Выбор наилучшего варианта решения ЛПР осуществляет в следующей последовательности:

- вычисляет показатель качества каждого j-го варианта решения ( ,), используя следующее выражение

где (5)

- выбирает вариант решения (k) , для которого показатель качества принимает максимальное значение, и считает этот вариант решения наилучшим среди сравниваемых..

где (6)

Этап 5 Проверка согласованности суждений ЛПР.

На практике действия ЛПР при построении матриц парного сравнения факторов, как правило, далеки от проведения идеальных сравнений и выполнения условий согласованности и транзитивности элементов этих матриц. Эти нарушения во многом объясняются психологическими особенностями ЛПР, имеющими место при проведении им большого количества парных сравнений. Поэтому каждая матрица парных сравнений после ее построения обязательно должна быть проверена на согласованность суждений ЛПР.

Основные требования, которые предъявляются к согласованности суждений ЛПР, состоят в выполнении им следующих условий:

1) выполнение условий порядковой транзитивности предпочтений факторов, согласно которым, если фактор предпочтительнее фактора , а последний предпочтительнее фактора , то фактор обязательно должен быть предпочтительнее фактора ;

2) выполнение условий количественной степени предпочтения факторов. Это означает, что если фактор предпочтительнее фактора , в раз, а фактор предпочтительнее фактора в раз , то фактор обязательно должен быть предпочтительнее фактора в раз.

Для обнаружения несогласованности суждений ЛПР, при построении им матрицы парных сравнений, Саати предложил проводить оценку степени согласованности (или отношения согласованности – ОС), которое вычисляется по следующему выражению:

(7)

при этом (8)

где: - значение индекса согласованности для реальной матрицы парных сравнений факторов

- значение индекса согласованности для несимметрических матриц, заполненных случайным образом. Это значение зависит от порядка матрицы парных сравнений факторов и приведено в табл. 3

– размерность матрицы парных сравнений факторов; следует иметь в виду, что она также соответствует максимальному собственному значению согласованной идеальной матрицы парных сравнений;

- для матрицы парных сравнений критериев

- для матрицы парных сравнений вариантов

- максимальное собственное значение реальной матрицы парных сравнений факторов

Если для рассматриваемой матрицы парных сравнений факторов численное значение отношения согласованности, вычисленное по выражению (7), будет меньше или равно (0,10), то данная матрица считается согласованной, иначе матрица считается несогласованной и в этом случае рекомендуется провести заново парное сравнение факторов, описываемых этой матрицей. Таким образом, для матрицы парного сравнения факторов имеем следующее:

• если то суждения ЛПР согласованы и матрица является согласованной;

• если то суждения ЛПР не согласованы, поэтому следует заново провести парное сравнение факторов рассматриваемой матрицы

Для вычисления , используемого в выражении (7), Саати предложил следующий алгоритм:

1) В матрице парных сравнений факторов суммируются элементы каждого столбца;

2) Сумма элементов каждого столбца этой матрицы умножается на соответствующие нормализованные компоненты вектора весов факторов, определенного из этой же матрицы, и получаем числа , количество которых соответствует количеству факторов этой таблицы;

3) Полученные числа суммируем и значение этой суммы обозначаем как

Таблица 3

Значение индекса согласованности для несимметрических матриц

в зависимости от порядка матрицы парных сравнений факторов.

Пример 1 Фирма, имеющая распределенную архитектуру, для дальнейшего развития своей организационной структуры, желает найти помещение для того, чтобы создать службу по обслуживанию своей компьютерной техники. Процесс этот является не простым, поскольку требует учета целого ряда факторов. Отметим только основные факторы, к числу которых следует отнести следующие:

- стоимость аренды помещения для размещения службы;

- срок договора об аренде помещения для службы;

- удобное место расположения помещения службы, учитывающее среднее

время, которое будут затрачивать сотрудники, чтобы добраться до главного

офиса или филиалов фирмы;

- наличие автомобильной стоянки для парковки автомобилей;

- тенденции дальнейшего развития фирмы;

- наличие кадров требуемой квалификации;

- дизайн и привлекательность как здания, так и арендуемого помещения.

Выбор помещения для службы принимает руководитель фирмы -ЛПР.

Решение.

На первом этапе ЛПР выполняет структуризацию процесса принятия решения и разрабатывает иерархическую трехуровневую схему факторов: цель, критерии, варианты помещения, а также выбирает эти факторы

Цель ЛПР - выбрать недорогое помещение и удобное для размещения службы.

Для достижения поставленной цели ЛПР использует следующие три критерия::

К1 - стоимость аренды помещения,

К2 - среднее время, затрачиваемое сотрудником службы до офисов;

К3 -наличие места для парковки автомашин вблизи арендуемого помещения.

ЛПР выделяет четыре варианта помещений, которым дает соответствующее кодовое наименование В1, В2,В3 и В4, для выбора среди них наиболее приемлемого.

На втором этапе ЛПР выполняет парное сравнение трех критериев, а также четырех вариантов помещений для офиса, используя упрощенную вербальную шкалу, приведенную в табл 1

Составленная ЛПР матрица парных сравнений критериев приведена в табл. 4. , а матрицы парных сравнений вариантов помещений по каждому из критериев приведены соответственно в табл. 5, 6 и 7.

На третьем этапе ЛПР сначала вычисляет собственные вектора каждого из рассматриваемых факторов: для критериев использует выражение (1) , а для вариантов помещений - выражение (2) , а затем вычисляет коэффициенты важности этих факторов, используя соответственно выражения (3) и (4). Полученные данные ЛПР заносит в соответствующие таблицы парного сравнения этих факторов: для критериев в табл 4, а для вариантов помещений, с учетом критерия, по которому проводилось их сравнение, соответственно в табл. 5, 6 и 7.

Таблица 4

Матрица сравнения критериев

Таблица 5

Матрица сравнения вариантов по критерию К1

Таблица 6

Матрица сравнения вариантов по критерию К2

Таблица 10.7